题目

标题和出处

标题：删除二叉搜索树中的结点

出处：450. 删除二叉搜索树中的结点

难度

5 级

题目描述

要求

给定二叉搜索树的根结点 $\text{root}$ 和一个值 $\text{key}$，删除二叉搜索树中的值为 $\text{key}$ 的结点，并保证二叉搜索树的性质不变。返回二叉搜索树（有可能被更新）的根结点的引用。

一般而言，删除结点可分为两个步骤：

1. 首先找到需要删除的结点。
2. 如果找到了需要删除的结点，删除该结点。

示例

示例 1：

输入：$\text{root = [5,3,6,2,4,null,7], key = 3}$
输出：$\text{[5,4,6,2,null,null,7]}$
解释：给定需要删除的结点值是 $\text{3}$，所以我们首先找到值为 $\text{3}$ 的结点，然后删除它。
一个正确的答案是 $\text{[5,4,6,2,null,null,7]}$，如上图所示。
另一个正确的答案是 $\text{[5,2,6,null,4,null,7]}$。

示例 2：

输入：$\text{root = [5,3,6,2,4,null,7], key = 0}$
输出：$\text{[5,3,6,2,4,null,7]}$
解释：二叉搜索树不包含值为 $\text{0}$ 的结点。

示例 3：

输入：$\text{root = [], key = 0}$
输出：$\text{[]}$

数据范围

• 树中结点数目在范围 ${\text{[0, 10}}^{\text{4}}\text{]}$ 内
• ${\text{-10}}^{\text{5}}\le \text{Node.val}\le {\text{10}}^{\text{5}}$
• 每个结点值各不相同
• $\text{root}$ 是二叉搜索树
• ${\text{-10}}^{\text{5}}\le \text{key}\le {\text{10}}^{\text{5}}$

进阶

树的高度为 $h$，你是否可以想出时间复杂度为 $O(h)$ 的解法？

解法一

思路和算法

为了删除二叉搜索树中的结点，需要首先搜索待删除的结点，只有当待删除的结点存在时才需要执行删除结点的操作。

由于在二叉搜索树中搜索特定值的结点是一个递归的过程，因此可以使用递归实现删除结点的操作。递归的终止条件是当前结点为空，此时不需要删除任何结点，返回空二叉树。对于其余情况，比较根结点值和待删除的结点值，决定应该在根结点的哪个子树中删除结点，对该子树调用递归，并用递归调用的结果更新当前结点的相应子树。

• 如果根结点值大于目标值，则应该在根结点的左子树中删除结点。

• 如果根结点值小于目标值，则应该在根结点的右子树中删除结点。

• 如果根结点值等于目标值，则需要删除根结点。判断根结点的左子结点和右子结点是否为空，分别执行相应的操作。

  • 如果根结点的两个子结点都为空，即根结点是叶结点，则直接删除根结点，返回空二叉树。

  • 如果根结点有一个子结点为空，则删除根结点之后剩下非空子树，返回根结点的非空子树。

  • 如果根结点的两个子结点都不为空，则找到根结点的后继结点，后继结点为根结点的右子树中的最右边的结点，将根结点值设为后继结点值，将后继结点设为其右子结点（需要通过对后继结点的父结点更新相应的子结点实现）。

代码

class Solution {
    public TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        if (root.val > key) {
            root.left = deleteNode(root.left, key);
            return root;
        }
        if (root.val < key) {
            root.right = deleteNode(root.right, key);
            return root;
        }
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return null;
        } else if (root.left == null) {
            return root.right;
        } else if (root.right == null) {
            return root.left;
        } else {
            TreeNode node = root.right, parent = root;
            while (node.left != null) {
                parent = node;
                node = node.left;
            }
            root.val = node.val;
            if (parent == root) {
                parent.right = node.right;
            } else {
                parent.left = node.right;
            }
            return root;
        }
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉搜索树的结点数。时间复杂度取决于二叉搜索树的高度，最坏情况下二叉搜索树的高度是 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉搜索树的结点数。空间复杂度主要是递归调用的栈空间，取决于二叉搜索树的高度，最坏情况下二叉搜索树的高度是 $O(n)$。

解法二

思路和算法

递归实现可以改成迭代实现。首先在二叉搜索树中搜索待删除的结点，同时维护待删除的结点的父结点。如果待删除的结点不存在，则不执行删除操作，返回原二叉搜索树。

如果待删除的结点存在，则判断待删除的结点的父结点是否为空结点。如果待删除的结点的父结点为空，则待删除的结点为二叉搜索树的根结点，在整个二叉搜索树中执行删除操作；如果待删除的结点的父结点不为空，则在以待删除的结点为根结点的子树中执行删除操作，然后用执行删除操作之后的结果更新父结点的相应子树。

当原始二叉搜索树或者其中一个子树的根结点为待删除的结点时，删除操作如下。

• 如果根结点的两个子结点都为空，即根结点是叶结点，则直接删除根结点，返回空二叉树。

• 如果根结点有一个子结点为空，则删除根结点之后剩下非空子树，返回根结点的非空子树。

• 如果根结点的两个子结点都不为空，则找到根结点的后继结点，后继结点为根结点的右子树中的最右边的结点，将根结点值设为后继结点值，将后继结点设为其右子结点（需要通过对后继结点的父结点更新相应的子结点实现）。

代码

class Solution {
    public TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
        TreeNode node = root, parent = null;
        while (node != null && node.val != key) {
            parent = node;
            if (node.val > key) {
                node = node.left;
            } else {
                node = node.right;
            }
        }
        if (node == null) {
            return root;
        }
        if (parent == null) {
            return deleteRoot(root);
        } else {
            if (node == parent.left) {
                parent.left = deleteRoot(node);
            } else {
                parent.right = deleteRoot(node);
            }
            return root;
        }
    }

    public TreeNode deleteRoot(TreeNode root) {
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return null;
        } else if (root.left == null) {
            return root.right;
        } else if (root.right == null) {
            return root.left;
        } else {
            TreeNode parent = root, node = root.right;
            while (node.left != null) {
                parent = node;
                node = node.left;
            }
            root.val = node.val;
            if (node == parent.right) {
                parent.right = node.right;
            } else {
                parent.left = node.right;
            }
            return root;
        }
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉搜索树的结点数。时间复杂度取决于二叉搜索树的高度，最坏情况下二叉搜索树的高度是 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。