原题链接：leetcode514. 自由之路

题目描述

电子游戏“辐射4”中，任务 “通向自由” 要求玩家到达名为 “Freedom Trail Ring” 的金属表盘，并使用表盘拼写特定关键词才能开门。

给定一个字符串 ring ，表示刻在外环上的编码；给定另一个字符串 key ，表示需要拼写的关键词。您需要算出能够拼写关键词中所有字符的最少步数。

最初，ring 的第一个字符与 12:00 方向对齐。您需要顺时针或逆时针旋转 ring 以使 key 的一个字符在 12:00 方向对齐，然后按下中心按钮，以此逐个拼写完 key 中的所有字符。

旋转 ring 拼出 key 字符 key[i] 的阶段中：

1. 您可以将 ring 顺时针或逆时针旋转 一个位置 ，计为1步。旋转的最终目的是将字符串 ring 的一个字符与 12:00 方向对齐，并且这个字符必须等于字符 key[i] 。
2. 如果字符 key[i] 已经对齐到12:00方向，您需要按下中心按钮进行拼写，这也将算作 1 步。按完之后，您可以开始拼写 key 的下一个字符（下一阶段）, 直至完成所有拼写。

输入输出描述：

示例 1：

输入: ring = "godding", key = "gd"
输出: 4
解释:
 对于 key 的第一个字符 'g'，已经在正确的位置, 我们只需要1步来拼写这个字符。 
 对于 key 的第二个字符 'd'，我们需要逆时针旋转 ring "godding" 2步使它变成 "ddinggo"。
 当然, 我们还需要1步进行拼写。
 因此最终的输出是 4。

示例 2:

输入: ring = "godding", key = "godding"
输出: 13

提示：

• 1 <= ring.length, key.length <= 100
• ring 和 key 只包含小写英文字母
• 保证 字符串 key 一定可以由字符串  ring 旋转拼出

解题思路：

我们需要利用一个在转盘上的环形字符串ring通过转动若干次使得转出key字符串，可以顺时针或者逆时针转，首先我们要拼出字符串key，拼出字符串key就是要依次让key的每一个字符依次指向十二点钟方向，要拼出key字符串，肯定先从key的第一个字符从前往后依次转出来，转出key[i]这种字符的最少转动次数只和前一个字符key[i-1]有关，由于key[i-1]在环形字符串中可能出现多次，而且key[i-1]可能需要用到若干次，说明实际上如果暴力搜索所有情况是存在重复计算的，看到重复计算我们就可以想到dp进行优化了，因为dp就是用来优化重复计算的呀，实际上到这里我们就可以知道这是一个很明显的线性dp了，下面定义状态进行dp处理即可。

状态定义：

定义f[i][j]表示第i步走到ring[j]的最少转动次数。

状态转移：

pos[i]存储i+'a'在ring中出现的位置

第0步走到key[0],看key[0]在ring中的出现位置进行处理,j表示pos[key[0-'a']],后面的+1表示最后按中心按钮

f[0][j]=0+d(ring.size(),0,j)+1;      

key[i]从key[i-1]转移过来，k枚举的就是key[i-1]在ring中出现的位置，用i-1步走到k来更新i步走到j

f[i][j]=f[i-1][k]+d(ring.size(),k,j)+1

最终答案：

要拼出key字符串,所以最终答案肯定是走了key.size()-1步，然后最后停在ring[j]=key[key.size()-1]的位置。

时间复杂度：不妨设m=key.size(),n=ring.size()，第一维枚举步数，时间为O(m),第二维枚举key[i]在ring中出现的位置，时间为O(n),第三维枚举key[i-1]在ring中出现的位置，时间为O(n),最终时间复杂度为O(m*(n^2)).

空间复杂度：dp数组f为二维，空间复杂度为O(m*n)。

cpp代码如下：

const int N=110;
int f[N][N];
class Solution {
    int d(int n,int a,int b)  //求a->b的往左走和往右走哪种方式距离更短
    {
        if(a>b)swap(a,b);
        return min(b-a,n-b+a);
    }
public:
    int findRotateSteps(string ring, string key) {
        vector<int>pos[26];  //pos[i]存储i+'a'在ring中出现的位置
        for(int i=0;i<ring.size();i++){
            pos[ring[i]-'a'].push_back(i);
        }

        //初始化
        for(int i=0;i<key.size();i++)
            for(int j=0;j<ring.size();j++)
                f[i][j]=1e9;
        //dp
        for(int i=0;i<key.size();i++)
            for(auto j:pos[key[i]-'a'])
            {
                if(i==0){  //第0步肯定是从位置0走到位置j
                    f[i][j]=min(f[i][j],0+d(ring.size(),0,j)+1);
                    continue;
                }
                //从key[i-1]在ring中出现的位置走到key[i]在ring中出现的位置
                for(auto k:pos[key[i-1]-'a']){
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+d(ring.size(),k,j)+1);
                }
            }

        /*
            要拼出字符串ring,我们走的步数肯定是ring.size()-1,最终会停在
            ring[i]==key[key.size()-1]的位置，但是由于这里我们的dp处理
            不会更新无效状态，所以我们直接按照下述更新方法对所有位置直接
            更新即可，因为一些无效位置dp处理的过程中没有被更新，所以这样
            更新并不会影响答案。
        */
        int ans=1e9;
        for(int i=0;i<ring.size();i++)
            ans=min(ans,f[key.size()-1][i]);
        return ans;
    }
};