高数(下) 第九章:多元函数微分学 及其应用

文章目录

  • Ch9. 多元函数微分学 及其应用
    • (一) 二重极限(二元函数的极限)
    • (二) 多元函数的连续性
    • (三) 偏导数
      • 1.偏导数的定义
      • 2.二阶混合偏导数相等
      • 3.变限积分+求偏导
    • (四) 二元可微:全增量、全微分
    • (五) 多元复合函数 求导法则
    • (六) 多元隐函数 的求导公式、隐函数存在定理
    • (七) 多元极值
      • 1.无条件极值
        • z=f(x,y)极值存在的必要条件:驻点
        • z=f(x,y)极值存在的充分条件:AC-B² > 0
      • 2.条件极值
        • 代入法
        • 拉格朗日乘数法
      • 3.二元函数在有界闭区域上的最值
    • (八) 多元微分的几何应用
      • 1.曲面的切平面与法线
      • 2.曲线的切线与法平面
    • (九) 方向导数与梯度
    • (十) 二元泰勒公式:泰勒多项式

Ch9. 多元函数微分学 及其应用

1.多元函数的基本概念:重极限、连续、偏导数、全微分
2.多元函数的微分法:复合函数微分法、隐函数微分法
3.多元函数的应用:极值、方向导数与梯度、切线切面


(一) 二重极限(二元函数的极限)

1.求重极限:取绝对值,夹逼
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2.证明重极限不存在:特殊路径



(二) 多元函数的连续性

lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(x,y)→(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) (x,y)(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)

连续的必要条件(前提):极限存在
连续的充要条件:极限存在,且等于函数值

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(三) 偏导数

1.偏导数的定义

lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \lim\limits_{Δx→0}\dfrac{f(x_0+Δx,y_0)-f(x_0,y_0)}{Δx} Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)存在,则记为 ∂ f ∂ x ∣ x = x 0 , y = y 0 \dfrac{∂f}{∂x}|_{x=x_0,y=y_0} xfx=x0,y=y0 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0)

lim ⁡ Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y \lim\limits_{Δy→0}\dfrac{f(x_0,y_0+Δy)-f(x_0,y_0)}{Δy} Δy0limΔyf(x0,y0+Δy)f(x0,y0)存在,则记为 ∂ f ∂ y ∣ x = x 0 , y = y 0 \dfrac{∂f}{∂y}|_{x=x_0,y=y_0} yfx=x0,y=y0 f y ( x 0 , y 0 ) f_y(x_0,y_0) fy(x0,y0)

偏导数,本质上就是对一元函数的导数

偏导数的几何意义:切线对x轴和y轴的斜率



2.二阶混合偏导数相等

定理:若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数 ∂ 2 z ∂ x ∂ y \dfrac{∂²z}{∂x∂y} xy2z ∂ 2 z ∂ y ∂ x \dfrac{∂²z}{∂y∂x} yx2z在区域D内连续,则在区域D内这两个二阶混合偏导数必相等:
∂ 2 z ∂ x ∂ y \dfrac{∂²z}{∂x∂y} xy2z ∂ 2 z ∂ y ∂ x \dfrac{∂²z}{∂y∂x} yx2z在D内连续 ⇨ D内 ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x \dfrac{∂²z}{∂x∂y}=\dfrac{∂²z}{∂y∂x} xy2z=yx2z f 12 ′ ′ = f 21 ′ ′ f''_{12}=f''_{21} f12′′=f21′′ )



例题1:23李林四(一)17.   ①二阶混合偏导数相等 ②微分方程(可降阶→一阶非线性) ③极值
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答案:
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3.变限积分+求偏导


例题1:20年12.   变限积分+求偏导
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分析:
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答案:4e




(四) 二元可微:全增量、全微分

全增量 Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)f(x,y)

若全增量Δz可表示为 Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) = f x ′ ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) + o ( ρ ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)=f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+o(ρ) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)=fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+o(ρ)
其中,A和B不依赖于Δx和Δy而仅与x和y有关, ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ρ=\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2
称函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)可微分

Δ z = d z + o ( ρ ) Δz=dz+o(ρ) Δz=dz+o(ρ)
其中, Δ z ∣ ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δz|_{(x_0,y_0)}=f(x_0+Δx,y_0+Δy)-f(x_0,y_0) Δz(x0,y0)=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)
d z = A Δ x + B Δ y = f x ′ Δ x + f y ′ Δ y dz=AΔx+BΔy=f'_xΔx+f'_yΔy dz=AΔx+BΔy=fxΔx+fyΔy


2.二元全微分 d z = A Δ x + B Δ y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=AΔx+BΔy=\dfrac{∂z}{∂x}dx+\dfrac{∂z}{∂y}dy dz=AΔx+BΔy=xzdx+yzdy

三元全微分: d u = ∂ u ∂ x d x + ∂ u ∂ y d y + ∂ u ∂ z d z du=\dfrac{∂u}{∂x}dx+\dfrac{∂u}{∂y}dy+\dfrac{∂u}{∂z}dz du=xudx+yudy+zudz


3.二元函数可微
①必要条件:两个偏导数 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) f'_x(x_0,y_0) , f'_y(x_0,y_0) fx(x0,y0),fy(x0,y0) 存在

要证可微,先证两个偏导存在。用定义

②充分必要条件:
lim ⁡ Δ x → 0 Δ y → 0 [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ] − [ f x ( x 0 , y 0 ) ⋅ Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) ⋅ Δ y ] ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \lim\limits_{Δx→0 \atop Δy→0}\dfrac{[f(x_0+Δx,y_0+Δy)-f(x_0,y_0)]-[f_x(x_0,y_0)·Δx+f_y(x_0,y_0)·Δy]}{\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2}} Δy0Δx0lim(Δx)2+(Δy)2 [f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)][fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy]

lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) Δ z − d z ρ = f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) − f x ′ ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) − f y ′ ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 \lim\limits_{(x,y)→(x_0,y_0)}\frac{Δz-dz}{ρ}=\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y'(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} (x,y)(x0,y0)limρΔzdz=(xx0)2+(yy0)2 f(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)

③充分条件:两个偏导数 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) f'_x(x_0,y_0) , f'_y(x_0,y_0) fx(x0,y0),fy(x0,y0) 均连续。满足 lim ⁡ x → x 0 y → y 0 f x ( x , y ) = f x ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{x→x_0\atop y→y_0}f_x(x,y)=f_x(x_0,y_0) yy0xx0limfx(x,y)=fx(x0,y0), lim ⁡ x → x 0 y → y 0 f y ( x , y ) = f y ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{x→x_0\atop y→y_0}f_y(x,y)=f_y(x_0,y_0) yy0xx0limfy(x,y)=fy(x0,y0)

偏导数只能体现 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)点沿着两条线的变化率,而无法体现平面上任意趋近,所以可偏导推不出连续。
f x ( x 0 , y 0 ) 是一元函数 f ( x , y 0 ) 对 x 的导数,也是二元函数 f ( x , y ) 对 x 的偏导数。即 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0)是一元函数f(x,y_0)对x的导数,也是二元函数f(x,y)对x的偏导数。即f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0)是一元函数f(x,y0)x的导数,也是二元函数f(x,y)x的偏导数。即fx(x0,y0) = d f ( x , y 0 ) d x \dfrac{df(x,y_0)}{dx} dxdf(x,y0) = ∂ f ( x , y ) ∂ x \dfrac{∂f(x,y)}{∂x} xf(x,y)

这里是引用



例题1:1994年
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答案:D


例题2:1997年
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分析:定义做
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答案:C


例题3:2002年
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答案:A


例题4:
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例5:2012年3.
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分析:
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答案:B


例题6:2020年3.
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分析:
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答案:A


例题7:660 T99   全微分
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分析:全微分,则 ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \dfrac{∂P}{∂y}=\dfrac{∂Q}{∂x} yP=xQ,求解a,b。然后用偏积分求解f(x,y)

答案: 3 , − 2 , x 3 y 2 − x 2 y 2 + y + C 3,-2,x^3y^2-x^2y^2+y+C 32x3y2x2y2+y+C(C为任意常数)




(五) 多元复合函数 求导法则

1.复合函数求导
z = f ( u , v ) = f [ u ( x , y ) , v ( x , y ) ] z=f(u,v)=f[u(x,y),v(x,y)] z=f(u,v)=f[u(x,y),v(x,y)]

f()里有两个位置,则求导就应该是两项之和
求二阶 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)具体点,求出一阶,在求二阶前 先代后求

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2.多元 全微分形式不变性
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意义:不需要区分是自变量还是中间变量



例题1:14年17.
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答案:
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(六) 多元隐函数 的求导公式、隐函数存在定理

三种方法:①两边求偏导 ②公式法 ③全微分形式不变性


隐函数存在定理1 (隐函数的求导公式):
F ( x , y ) = 0 , F y ( x , y ) ≠ 0 F(x,y)=0,F_y(x,y)≠0 F(x,y)=0Fy(x,y)=0,则有 d y d x = − F x F y \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y} dxdy=FyFx

隐函数存在定理2:
F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F(x₀,y₀,z₀)=0 F(x0,y0,z0)=0 F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F'_z(x₀,y₀,z₀)≠0 Fz(x0,y0,z0)=0,则有 ∂ z ∂ x = − F x F z , ∂ z ∂ y = − F y F z \dfrac{∂z}{∂x}=-\dfrac{F_x}{F_z},\dfrac{∂z}{∂y}=-\dfrac{F_y}{F_z} xz=FzFxyz=FzFy

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例题1:10年2.
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分析:公式法。其他两个都视作常数
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答案:B


例题2:隐函数 和 复合函数 综合题
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解法1:理清变量关系,利用复合函数链式求导法
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解法2:全微分形式不变性(优势:不需要分析变量间的关系)
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例题3:05年10.   隐函数存在定理
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分析: F ( x , y , z ) = x y − z ln ⁡ y + e x z − 1 F ( 0 , 1 , 1 ) = 0 F(x,y,z)=xy-z\ln y+e^{xz}-1 \qquad F(0,1,1)=0 F(x,y,z)=xyzlny+exz1F(0,1,1)=0
F x ( x , y , z ) = y + z e x z F x ( 0 , 1 , 1 ) = 2 ≠ 0 F_x(x,y,z)=y+ze^{xz} \qquad F_x(0,1,1)=2≠0 Fx(x,y,z)=y+zexzFx(0,1,1)=2=0 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的隐函数 x = f ( y , z ) x=f(y,z) x=f(y,z)
F y ( x , y , z ) = x − z y F y ( 0 , 1 , 1 ) = − 1 ≠ 0 F_y(x,y,z)=x-\dfrac{z}{y} \qquad F_y(0,1,1)=-1≠0 Fy(x,y,z)=xyzFy(0,1,1)=1=0 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的隐函数 y = f ( x , z ) y=f(x,z) y=f(x,z)
F z ( x , y , z ) = ln ⁡ y + x e x z F z ( 0 , 1 , 1 ) = 0 F_z(x,y,z)=\ln y +xe^{xz} \qquad F_z(0,1,1)=0 Fz(x,y,z)=lny+xexzFz(0,1,1)=0 无法作为分母,不能确定有存在连续偏导数的隐函数z=f(x,y)

答案:D




(七) 多元极值

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1.无条件极值

z=f(x,y)极值存在的必要条件:驻点

f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0


可能取得极值的点:
驻点 f x ′ = 0 且 f y ′ = 0 f'_x=0且f'_y=0 fx=0fy=0
②偏导数均不存在的点:f’x不存在且f’y不存在
③一个偏导为0,一个偏导不存在:f’x=0且f’y不存在
④一个偏导不存在,一个偏导为0:f’x不存在且f’y=0


z=f(x,y)极值存在的充分条件:AC-B² > 0

①必要条件: ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)是驻点,即 f x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0
②充分条件:令 A = f x x ( x 0 , y 0 ) , B = f x y ( x 0 , y 0 ) , C = f y y ( x 0 , y 0 ) A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0) A=fxx(x0,y0)B=fxy(x0,y0)C=fyy(x0,y0)
i. AC-B²>0,为极值点。A>0极小值,A<0极大值
ii. AC-B²<0,无极值点
iii. AC-B²=0,不定。可能有极值,可能无极值,还需另作讨论。用定义判定



例题1:11年3.   二元无条件极值
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分析:
法一:极小值,则为凹,笑脸, f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0)>0 f′′(x0)>0。排除BD

法二:二元极值
①必要条件: ∂ z ∂ x ∣ 0 , 0 = f ′ ( x ) ln ⁡ f ( y ) ∣ ( 0 , 0 ) = 0 , ∂ z ∂ y ∣ ( 0 , 0 ) = f ( x ) f ′ ( y ) f ( y ) ∣ ( 0 , 0 ) = 0 \dfrac{∂z}{∂x}|_{0,0}=f'(x)\ln f(y)|_{(0,0)}=0,\dfrac{∂z}{∂y}|_{(0,0)}=f(x)\dfrac{f'(y)}{f(y)}|_{(0,0)}=0 xz0,0=f(x)lnf(y)(0,0)=0yz(0,0)=f(x)f(y)f(y)(0,0)=0。是驻点,满足必要条件。

②充分条件:令 A = f x x ( x 0 , y 0 ) ∣ ( 0 , 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) ln ⁡ f ( 0 ) , B = f x y ( 0 , 0 ) = f ′ ( x 0 ) f ′ ( y 0 ) f ( y 0 ) ∣ ( 0 , 0 ) = 0 , C = f y y ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 ) f ′ ′ ( y 0 ) f ( y 0 ) − f ′ 2 ( y ) f 2 ( y 0 ) ∣ ( 0 , 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) f ( 0 ) A=f_{xx}(x_0,y_0)|_{(0,0)}=f''(0)\ln f(0),B=f_{xy}(0,0)=f'(x_0)\dfrac{f'(y_0)}{f(y_0)}|_{(0,0)}=0,C=f_{yy}(x_0,y_0)=f(x_0)\dfrac{f''(y_0)f(y_0)-f'^2(y)}{f^2(y_0)}|_{(0,0)}=\dfrac{f''(0)}{f(0)} A=fxx(x0,y0)(0,0)=f′′(0)lnf(0)B=fxy(0,0)=f(x0)f(y0)f(y0)(0,0)=0C=fyy(x0,y0)=f(x0)f2(y0)f′′(y0)f(y0)f′2(y)(0,0)=f(0)f′′(0)

有极值,AC-B²>0,则 f ′ ′ 2 ( 0 ) ln ⁡ f ( 0 ) f ( 0 ) > 0 \dfrac{f''^2(0)\ln f(0)}{f(0)}>0 f(0)f′′2(0)lnf(0)>0,∵f(x)>0 ∴lnf(0)>0,即f(0)>1
且因是极小值, A = f ′ ′ ( 0 ) l n f ( 0 ) > 0 , ∴ f ′ ′ ( 0 ) > 0 A=f''(0)lnf(0)>0,∴f''(0)>0 A=f′′(0)lnf(0)>0f′′(0)>0

答案:A




2.条件极值

代入法

化条件极值为无条件极值
①直角坐标
②圆、椭圆:参数方程



拉格朗日乘数法

1.二元函数z=f(x,y)的条件极值
要找二元函数 z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下可能的极值点:
①构造拉格朗日函数 L ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λ φ ( x , y ) L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y) L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

②对每个参数求一阶偏导: { L x = f x ( x , y ) + λ φ x ( x , y ) = 0 L y = f y ( x , y ) + λ φ y ( x , y ) = 0 L λ = φ ( x , y ) = 0 \left\{\begin{aligned} {\rm L}_x & = f_x(x,y)+λφ_x(x,y) = 0 \\ {\rm L}_y & = f_y(x,y)+λφ_y(x,y) = 0 \\ {\rm L}_λ & = φ(x,y) = 0 \\ \end{aligned}\right. LxLyLλ=fx(x,y)+λφx(x,y)=0=fy(x,y)+λφy(x,y)=0=φ(x,y)=0

③解方程组,得到可能的极值点



2.三元函数u=f(x,y,z)的条件极值
要找三元函数 u=f(x,y,z)在附加条件φ(x,y,z)=0下可能的极值点:
①构造拉格朗日函数 L ( x , y , z , λ ) = f ( x , y , z ) + λ φ ( x , y , z ) L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z) L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)

②对每个参数求一阶偏导: { L x = f x ( x , y , z ) + λ φ x ( x , y , z ) = 0 L y = f y ( x , y , z ) + λ φ y ( x , y , z ) = 0 L z = f z ( x , y , z ) + λ φ z ( x , y , z ) = 0 L λ = φ ( x , y , z ) = 0 \left\{\begin{aligned} {\rm L}_x & = f_x(x,y,z)+λφ_x(x,y,z) = 0 \\ {\rm L}_y & = f_y(x,y,z)+λφ_y(x,y,z) = 0 \\ {\rm L}_z & = f_z(x,y,z)+λφ_z(x,y,z) = 0 \\ {\rm L}_λ & = φ(x,y,z) = 0 \\ \end{aligned}\right. LxLyLzLλ=fx(x,y,z)+λφx(x,y,z)=0=fy(x,y,z)+λφy(x,y,z)=0=fz(x,y,z)+λφz(x,y,z)=0=φ(x,y,z)=0

③解方程组,得到可能的极值点



例题1:08年数二
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答案:
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例题2:18年16.   拉格朗日乘数法求条件极值
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答案:
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3.二元函数在有界闭区域上的最值

求二元函数在有界闭区域上的最值的3步骤:
①先求闭区域D内部驻点的函数值
②闭区域D 边界的最大最小值
③驻点值与边界最值比大小,最大的为最大值,最小的为最小值



例题1:03年9.   二元极值
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分析:
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答案:A


例题2:07年17.   条件极值:不用求二阶导,只比较驻点函数值与边界函数值的大小

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分析:
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(八) 多元微分的几何应用

1.曲面的切平面与法线

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若有曲面方程: F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0,切点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)

①曲面的法向量 n ⃗ = { F x ′ , F y ′ , F z ′ } ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \vec{n}=\{F'_x,F'_y,F'_z\}|_{(x_0,y_0,z_0)} n ={Fx,Fy,Fz}(x0,y0,z0)

②切平面方程可表示为: F x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( x − x 0 ) + F y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( y − y 0 ) + F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z − z 0 ) = 0 F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0

③曲面的法线方程: x − x 0 F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) \dfrac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)} Fx(x0,y0,z0)xx0=Fy(x0,y0,z0)yy0=Fz(x0,y0,z0)zz0



例题1:13年2.   求切平面方程:先求法向量
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分析:求切平面,先求法向量
F ( x , y , z ) = x 2 + c o s ( x y ) + y z + x = 0 F(x,y,z)=x^2+cos(xy)+yz+x=0 F(x,y,z)=x2+cos(xy)+yz+x=0,求出对应 F x , F y , F z F_x,F_y,F_z Fx,Fy,Fz,并代入点(0,1,-1)。
得切平面方程: F x ( x − x 0 ) + F y ( y − y 0 ) + F z ( z − z 0 ) = 0 F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0 Fx(xx0)+Fy(yy0)+Fz(zz0)=0

答案:A


例题2:14年9.
在这里插入图片描述
分析:已知切点,只需要求法向量,即可点法式得切平面方程
z=f(x,y),曲面法向量为 n ⃗ = ( f x , f y , − 1 ) \vec{n}=(f_x,f_y,-1) n =(fx,fy,1) ,切点为(1,0,1)

【f(x,y)较复杂,求偏导考虑先代后求:求谁谁不动,其他字母代数值】
f ( x , y ) = x 2 ( 1 − s i n y ) + y 2 ( 1 − s i n x ) f(x,y)=x^2(1-siny)+y^2(1-sinx) f(x,y)=x2(1siny)+y2(1sinx)
f ( x , 0 ) = x 2 , f x = 2 x ∣ ( 1 , 0 ) = 2 f(x,0)=x^2,f_x=2x|_{(1,0)}=2 f(x,0)=x2,fx=2x(1,0)=2
f ( 1 , y ) = 1 − s i n y + y 2 ( 1 − s i n 1 ) , f y = − c o s y + 2 y ( 1 − s i n 1 ) ∣ ( 1 , 0 ) = − 1 f(1,y)=1-siny+y^2(1-sin1),f_y=-cosy+2y(1-sin1)|_{(1,0)}=-1 f(1,y)=1siny+y2(1sin1),fy=cosy+2y(1sin1)(1,0)=1
n ⃗ = ( 2 , − 1 , − 1 ) \vec{n}=(2,-1,-1) n =(2,1,1)
∴切平面方程:2(x-1)-y-(z-1)=0,即2x-y-z-1=0

答案: 2 x − y − z − 1 = 0 2x-y-z-1=0 2xyz1=0


例题3:03年2.
在这里插入图片描述
分析:点法式,求法向量和切点
曲面z=f(x,y),法向量为 n 1 ⃗ = ( f x , f y , − 1 ) = ( 2 x 0 , 2 y 0 , − 1 ) \vec{n_1}=(f_x,f_y,-1)=(2x_0,2y_0,-1) n1 =(fx,fy,1)=(2x0,2y0,1)。平面法向量 n 2 ⃗ = ( 2 , 4 , − 1 ) \vec{n_2}=(2,4,-1) n2 =(2,4,1)
与平面平行,则两者法向量成比例,即 2 x 0 2 = 2 y 0 4 = − 1 − 1 = 1 \dfrac{2x_0}{2}=\dfrac{2y_0}{4}=\dfrac{-1}{-1}=1 22x0=42y0=11=1,∴ x 0 = 1 , y 0 = 2 , z 0 = 5 x_0=1,y_0=2,z_0=5 x0=1,y0=2,z0=5
∴曲面法向量为(2,4,-1),切点(1,2,5),求点法式得切平面方程:2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=2x+4y-z-5=0

答案: 2 x + 4 y − z − 5 = 0 2x+4y-z-5=0 2x+4yz5=0


例题4:18年2.
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分析:难点在于找切点,需要联立三个方程
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答案:B


例题5:00年2.  求曲面的法线方程
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分析:法线方程,同样只需要切点和法向量

①切点已知为(1-2,2)
②曲面的法向量 n ⃗ = { F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) } = { 2 x , 4 y , 6 z } ∣ ( 1 , − 2 , 2 ) = { 2 , − 8 , 12 } \vec{n}=\{F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0)\}=\{2x,4y,6z\}|_{(1,-2,2)}=\{2,-8,12\} n ={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}={2x,4y,6z}(1,2,2)={2,8,12}

③曲面的法线方程: x − 1 2 = y + 2 − 8 = z − 2 12 \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-8}=\dfrac{z-2}{12} 2x1=8y+2=12z2,即 x − 1 1 = y + 2 − 4 = z − 2 6 \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-2}{6} 1x1=4y+2=6z2

答案: x − 1 1 = y + 2 − 4 = z − 2 6 \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-2}{6} 1x1=4y+2=6z2




2.曲线的切线与法平面

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例题1:求曲线的切线方程和法平面方程,还是要求切点和切向量
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分析:切点 ( π 2 − 1 , 1 , 2 2 ) (\dfrac{π}{2}-1,1,2\sqrt{2}) (2π1122 ),切向量 ( 1 , 1 , 2 ) (1,1,\sqrt{2}) (1,1,2 )

答案:
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例题2:已知切点,求切向量
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分析:对于交面式, τ ⃗ = n 1 ⃗ × n 2 ⃗ \vec{τ}=\vec{n_1}×\vec{n_2} τ =n1 ×n2
n 1 ⃗ = ( 2 , − 4 , 2 ) \vec{n_1}=(2,-4,2) n1 =(2,4,2) n 2 ⃗ = ( 1 , 1 , 1 ) \vec{n_2}=(1,1,1) n2 =(1,1,1)
τ ⃗ = n 1 ⃗ × n 2 ⃗ = ( − 6 , 0 , 6 ) \vec{τ}=\vec{n_1}×\vec{n_2}=(-6,0,6) τ =n1 ×n2 =(6,0,6)

答案:
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例题3:01年7.
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分析:
对于C, { F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z = 0 G ( x , y , z ) = y = 0 \left\{\begin{aligned} F(x,y,z) & = f(x,y)-z = 0\\ G(x,y,z) & = y = 0 \end{aligned}\right. {F(x,y,z)G(x,y,z)=f(x,y)z=0=y=0
n 1 ⃗ = ( f x , f y , − 1 ) = ( 3 , 1 , − 1 ) \vec{n_1}=(f_x,f_y,-1)=(3,1,-1) n1 =(fx,fy,1)=(3,1,1) n 2 ⃗ = ( 0 , 1 , 0 ) \vec{n_2}=(0,1,0) n2 =(0,1,0)

∴切向量 τ ⃗ = n 1 ⃗ × n 2 ⃗ = ( 1 , 0 , 3 ) \vec{τ}=\vec{n_1}×\vec{n_2}=(1,0,3) τ =n1 ×n2 =(1,0,3)

答案:C


例题4:23李林六套卷(二) 11.
在这里插入图片描述
分析:
①切点:(1,1,0)
②求切向量:
{ F ( x , y , z ) = − x + y 2 = 0 G ( x , y , z ) = 3 ( y − 1 ) − z = 3 y − 3 − z = 0 \left\{\begin{aligned} F(x,y,z) & = -x+y^2 = 0\\ G(x,y,z) & = 3(y-1)-z =3y-3-z= 0 \end{aligned}\right. {F(x,y,z)G(x,y,z)=x+y2=0=3(y1)z=3y3z=0
n 1 ⃗ = ( − 1 , 2 y , 0 ) = ( − 1 , 2 , 0 ) \vec{n_1}=(-1,2y,0)=(-1,2,0) n1 =(1,2y,0)=(1,2,0)
n 2 ⃗ = ( 0 , 3 , − 1 ) \vec{n_2}=(0,3,-1) n2 =(0,3,1)
∴切向量 τ ⃗ = n 1 ⃗ × n 2 ⃗ = ( − 2 , − 1 , − 3 ) \vec{τ}=\vec{n_1}×\vec{n_2}=(-2,-1,-3) τ =n1 ×n2 =(2,1,3)

答案: x − 1 2 = y − 1 1 = z 3 \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{3} 2x1=1y1=3z




(九) 方向导数与梯度

1.方向导数 ∂ f ∂ l \dfrac{∂f}{∂l} lf

二元方向导数 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ′ cos ⁡ α + f y ′ cos ⁡ β \dfrac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=f'_x\cosα+f'_y\cosβ lf(x0,y0)=fxcosα+fycosβ

三元方向导数 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = f x ′ cos ⁡ α + f y ′ cos ⁡ β + f z ′ cos ⁡ γ \dfrac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0,z_0)}=f'_x\cosα+f'_y\cosβ+f'_z\cosγ lf(x0,y0,z0)=fxcosα+fycosβ+fzcosγ



例题1:05年3.   方向导数
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分析:
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答案: 3 3 \dfrac{\sqrt{3}}{3} 33


例题2:17年3.
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分析:
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答案:D



2.梯度 grad

方向导数与梯度的关系:方向导数最大的方向即为梯度方向;最大值为梯度的模


二元梯度 g r a d ⃗ f ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ′ i ⃗ + f y ′ j ⃗ \vec{grad}f|_{(x_0,y_0)}=f'_x\vec{i}+f'_y\vec{j} grad f(x0,y0)=fxi +fyj

三元梯度 g r a d ⃗ f ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = f x ′ i ⃗ + f y ′ j ⃗ + f z ′ k ⃗ \vec{grad}f|_{(x_0,y_0,z_0)}=f'_x\vec{i}+f'_y\vec{j}+f'_z\vec{k} grad f(x0,y0,z0)=fxi +fyj +fzk



例题1:12年11.   梯度就是 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec{i},\vec{j},\vec{k} i ,j ,k
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分析: f x = y , f y = x − z y 2 , f z = 1 y f_x=y,f_y=x-\dfrac{z}{y^2},f_z=\dfrac{1}{y} fx=yfy=xy2zfz=y1

g r a d ⃗ f ∣ ( 2 , 1 , 1 ) = f x ( 2 , 1 , 1 ) i ⃗ + f y ( 2 , 1 , 1 ) j ⃗ + f z ( 2 , 1 , 1 ) k ⃗ = i ⃗ + j ⃗ + k ⃗ = ( 1 , 1 , 1 ) \vec{grad}f|_{(2,1,1)}=f_x(2,1,1)\vec{i}+f_y(2,1,1)\vec{j}+f_z(2,1,1)\vec{k}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(1,1,1) grad f(2,1,1)=fx(2,1,1)i +fy(2,1,1)j +fz(2,1,1)k =i +j +k =(1,1,1)

答案: i ⃗ + j ⃗ + k ⃗ \vec{i}+\vec{j}+\vec{k} i +j +k ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1)


例题2:22年11.   方向导数与梯度的关系:最大方向导数为梯度的模长
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分析:最大方向导数为梯度的模长
g r a d f ( x , y ) ∣ ( 0 , 1 ) = 2 x   i ⃗ + 4 y   j ⃗ ∣ ( 0 , 1 ) = 4   j ⃗ gradf(x,y)|_{(0,1)}=2x\ \vec{i}+4y\ \vec{j}|_{(0,1)}=4\ \vec{j} gradf(x,y)(0,1)=2x i +4y j (0,1)=4 j
故梯度的模长 ∣ g r a d f ( x , y ) ∣ ( 0 , 1 ) ∣ = ∣ { 0 , 4 } ∣ = 0 2 + 4 2 = 4 |gradf(x,y)|_{(0,1)}|=|\{0,4\}|=\sqrt{0²+4²}=4 gradf(x,y)(0,1)={0,4}=02+42 =4

答案:4


例题3:19年16.   方向导数与梯度的关系、第一类曲面积分
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分析:方向导数与梯度的关系:方向导数最大的方向即为梯度方向;最大值为梯度的模

答案:
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(十) 二元泰勒公式:泰勒多项式

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背住第二行的公式即可:
①先求出 f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0,y0) f x ′ ( x 0 , y 0 ) f_x'(x_0,y_0) fx(x0,y0) f y ′ ( x 0 , y 0 ) f_y'(x_0,y_0) fy(x0,y0) f x x ′ ′ ( x 0 , y 0 ) f_{xx}''(x_0,y_0) fxx′′(x0,y0) f x y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) f_{xy}''(x_0,y_0) fxy′′(x0,y0) f y y ′ ′ ( x 0 , y 0 ) f_{yy}''(x_0,y_0) fyy′′(x0,y0)
②代入公式即可



例题1:23李林四(三)13.
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分析:
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答案:5+2(x-1)²-(x-1)(y+2)-(y+2)²


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