文章目录
- Ch9. 多元函数微分学 及其应用
- (一) 二重极限(二元函数的极限)
- (二) 多元函数的连续性
- (三) 偏导数
- 1.偏导数的定义
- 2.二阶混合偏导数相等
- 3.变限积分+求偏导
- (四) 二元可微:全增量、全微分
- (五) 多元复合函数 求导法则
- (六) 多元隐函数 的求导公式、隐函数存在定理
- (七) 多元极值
- 1.无条件极值
- z=f(x,y)极值存在的必要条件:驻点
- z=f(x,y)极值存在的充分条件:AC-B² > 0
- 2.条件极值
- 代入法
- 拉格朗日乘数法
- 3.二元函数在有界闭区域上的最值
- (八) 多元微分的几何应用
- 1.曲面的切平面与法线
- 2.曲线的切线与法平面
- (九) 方向导数与梯度
- 1.方向导数 ∂ f ∂ l \dfrac{∂f}{∂l} ∂l∂f
- 2.梯度 grad
- (十) 二元泰勒公式:泰勒多项式
Ch9. 多元函数微分学 及其应用
1.多元函数的基本概念:重极限、连续、偏导数、全微分
2.多元函数的微分法:复合函数微分法、隐函数微分法
3.多元函数的应用:极值、方向导数与梯度、切线切面
(一) 二重极限(二元函数的极限)
1.求重极限:取绝对值,夹逼
2.证明重极限不存在:特殊路径
(二) 多元函数的连续性
lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(x,y)→(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) (x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)
连续的必要条件(前提):极限存在
连续的充要条件:极限存在,且等于函数值
(三) 偏导数
1.偏导数的定义
若 lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \lim\limits_{Δx→0}\dfrac{f(x_0+Δx,y_0)-f(x_0,y_0)}{Δx} Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)存在,则记为 ∂ f ∂ x ∣ x = x 0 , y = y 0 \dfrac{∂f}{∂x}|_{x=x_0,y=y_0} ∂x∂f∣x=x0,y=y0或 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0)
若 lim Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y \lim\limits_{Δy→0}\dfrac{f(x_0,y_0+Δy)-f(x_0,y_0)}{Δy} Δy→0limΔyf(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)存在,则记为 ∂ f ∂ y ∣ x = x 0 , y = y 0 \dfrac{∂f}{∂y}|_{x=x_0,y=y_0} ∂y∂f∣x=x0,y=y0或 f y ( x 0 , y 0 ) f_y(x_0,y_0) fy(x0,y0)
偏导数,本质上就是对一元函数的导数
偏导数的几何意义:切线对x轴和y轴的斜率
2.二阶混合偏导数相等
定理:若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数
∂
2
z
∂
x
∂
y
\dfrac{∂²z}{∂x∂y}
∂x∂y∂2z及
∂
2
z
∂
y
∂
x
\dfrac{∂²z}{∂y∂x}
∂y∂x∂2z在区域D内连续,则在区域D内这两个二阶混合偏导数必相等:
∂
2
z
∂
x
∂
y
\dfrac{∂²z}{∂x∂y}
∂x∂y∂2z及
∂
2
z
∂
y
∂
x
\dfrac{∂²z}{∂y∂x}
∂y∂x∂2z在D内连续 ⇨ D内
∂
2
z
∂
x
∂
y
=
∂
2
z
∂
y
∂
x
\dfrac{∂²z}{∂x∂y}=\dfrac{∂²z}{∂y∂x}
∂x∂y∂2z=∂y∂x∂2z(
f
12
′
′
=
f
21
′
′
f''_{12}=f''_{21}
f12′′=f21′′ )
例题1:23李林四(一)17. ①二阶混合偏导数相等 ②微分方程(可降阶→一阶非线性) ③极值
答案:
3.变限积分+求偏导
例题1:20年12. 变限积分+求偏导
分析:
答案:4e
(四) 二元可微:全增量、全微分
全增量: Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
若全增量Δz可表示为
Δ
z
=
A
Δ
x
+
B
Δ
y
+
o
(
ρ
)
=
f
x
′
(
x
0
,
y
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
y
′
(
x
0
,
y
0
)
(
y
−
y
0
)
+
o
(
ρ
)
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)=f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+o(ρ)
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)=fx′(x0,y0)(x−x0)+fy′(x0,y0)(y−y0)+o(ρ)
其中,A和B不依赖于Δx和Δy而仅与x和y有关,
ρ
=
(
Δ
x
)
2
+
(
Δ
y
)
2
ρ=\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2}
ρ=(Δx)2+(Δy)2
称函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)可微分
Δ z = d z + o ( ρ ) Δz=dz+o(ρ) Δz=dz+o(ρ)
其中, Δ z ∣ ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δz|_{(x_0,y_0)}=f(x_0+Δx,y_0+Δy)-f(x_0,y_0) Δz∣(x0,y0)=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
d z = A Δ x + B Δ y = f x ′ Δ x + f y ′ Δ y dz=AΔx+BΔy=f'_xΔx+f'_yΔy dz=AΔx+BΔy=fx′Δx+fy′Δy
2.二元全微分: d z = A Δ x + B Δ y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y dz=AΔx+BΔy=\dfrac{∂z}{∂x}dx+\dfrac{∂z}{∂y}dy dz=AΔx+BΔy=∂x∂zdx+∂y∂zdy
三元全微分: d u = ∂ u ∂ x d x + ∂ u ∂ y d y + ∂ u ∂ z d z du=\dfrac{∂u}{∂x}dx+\dfrac{∂u}{∂y}dy+\dfrac{∂u}{∂z}dz du=∂x∂udx+∂y∂udy+∂z∂udz
3.二元函数可微
①必要条件:两个偏导数
f
x
′
(
x
0
,
y
0
)
,
f
y
′
(
x
0
,
y
0
)
f'_x(x_0,y_0) , f'_y(x_0,y_0)
fx′(x0,y0),fy′(x0,y0) 存在
要证可微,先证两个偏导存在。用定义
②充分必要条件:
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
→
0
[
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
]
−
[
f
x
(
x
0
,
y
0
)
⋅
Δ
x
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
⋅
Δ
y
]
(
Δ
x
)
2
+
(
Δ
y
)
2
\lim\limits_{Δx→0 \atop Δy→0}\dfrac{[f(x_0+Δx,y_0+Δy)-f(x_0,y_0)]-[f_x(x_0,y_0)·Δx+f_y(x_0,y_0)·Δy]}{\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2}}
Δy→0Δx→0lim(Δx)2+(Δy)2[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)]−[fx(x0,y0)⋅Δx+fy(x0,y0)⋅Δy]
lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) Δ z − d z ρ = f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) − f x ′ ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) − f y ′ ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 \lim\limits_{(x,y)→(x_0,y_0)}\frac{Δz-dz}{ρ}=\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y'(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} (x,y)→(x0,y0)limρΔz−dz=(x−x0)2+(y−y0)2f(x,y)−f(x0,y0)−fx′(x0,y0)(x−x0)−fy′(x0,y0)(y−y0)
③充分条件:两个偏导数 f x ′ ( x 0 , y 0 ) , f y ′ ( x 0 , y 0 ) f'_x(x_0,y_0) , f'_y(x_0,y_0) fx′(x0,y0),fy′(x0,y0) 均连续。满足 lim x → x 0 y → y 0 f x ( x , y ) = f x ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{x→x_0\atop y→y_0}f_x(x,y)=f_x(x_0,y_0) y→y0x→x0limfx(x,y)=fx(x0,y0), lim x → x 0 y → y 0 f y ( x , y ) = f y ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{x→x_0\atop y→y_0}f_y(x,y)=f_y(x_0,y_0) y→y0x→x0limfy(x,y)=fy(x0,y0)
偏导数只能体现 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)点沿着两条线的变化率,而无法体现平面上任意趋近,所以可偏导推不出连续。
f x ( x 0 , y 0 ) 是一元函数 f ( x , y 0 ) 对 x 的导数,也是二元函数 f ( x , y ) 对 x 的偏导数。即 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0)是一元函数f(x,y_0)对x的导数,也是二元函数f(x,y)对x的偏导数。即f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0)是一元函数f(x,y0)对x的导数,也是二元函数f(x,y)对x的偏导数。即fx(x0,y0) = d f ( x , y 0 ) d x \dfrac{df(x,y_0)}{dx} dxdf(x,y0) = ∂ f ( x , y ) ∂ x \dfrac{∂f(x,y)}{∂x} ∂x∂f(x,y)
例题1:1994年
答案:D
例题2:1997年
分析:定义做
答案:C
例题3:2002年
答案:A
例题4:
例5:2012年3.
分析:
答案:B
例题6:2020年3.
分析:
答案:A
例题7:660 T99 全微分
分析:全微分,则
∂
P
∂
y
=
∂
Q
∂
x
\dfrac{∂P}{∂y}=\dfrac{∂Q}{∂x}
∂y∂P=∂x∂Q,求解a,b。然后用偏积分求解f(x,y)
答案: 3 , − 2 , x 3 y 2 − x 2 y 2 + y + C 3,-2,x^3y^2-x^2y^2+y+C 3,−2,x3y2−x2y2+y+C(C为任意常数)
(五) 多元复合函数 求导法则
1.复合函数求导
z
=
f
(
u
,
v
)
=
f
[
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
]
z=f(u,v)=f[u(x,y),v(x,y)]
z=f(u,v)=f[u(x,y),v(x,y)]
f()里有两个位置,则求导就应该是两项之和
求二阶 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)具体点,求出一阶,在求二阶前 先代后求
2.多元 全微分形式不变性
意义:不需要区分是自变量还是中间变量
例题1:14年17.
答案:
(六) 多元隐函数 的求导公式、隐函数存在定理
三种方法:①两边求偏导 ②公式法 ③全微分形式不变性
隐函数存在定理1 (隐函数的求导公式):
F
(
x
,
y
)
=
0
,
F
y
(
x
,
y
)
≠
0
F(x,y)=0,F_y(x,y)≠0
F(x,y)=0,Fy(x,y)=0,则有
d
y
d
x
=
−
F
x
F
y
\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y}
dxdy=−FyFx
隐函数存在定理2:
F
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
0
F(x₀,y₀,z₀)=0
F(x0,y0,z0)=0,
F
z
′
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
≠
0
F'_z(x₀,y₀,z₀)≠0
Fz′(x0,y0,z0)=0,则有
∂
z
∂
x
=
−
F
x
F
z
,
∂
z
∂
y
=
−
F
y
F
z
\dfrac{∂z}{∂x}=-\dfrac{F_x}{F_z},\dfrac{∂z}{∂y}=-\dfrac{F_y}{F_z}
∂x∂z=−FzFx,∂y∂z=−FzFy
例题1:10年2.
分析:公式法。其他两个都视作常数
答案:B
例题2:隐函数 和 复合函数 综合题
解法1:理清变量关系,利用复合函数链式求导法
解法2:全微分形式不变性(优势:不需要分析变量间的关系)
例题3:05年10. 隐函数存在定理
分析:
F
(
x
,
y
,
z
)
=
x
y
−
z
ln
y
+
e
x
z
−
1
F
(
0
,
1
,
1
)
=
0
F(x,y,z)=xy-z\ln y+e^{xz}-1 \qquad F(0,1,1)=0
F(x,y,z)=xy−zlny+exz−1F(0,1,1)=0
F
x
(
x
,
y
,
z
)
=
y
+
z
e
x
z
F
x
(
0
,
1
,
1
)
=
2
≠
0
F_x(x,y,z)=y+ze^{xz} \qquad F_x(0,1,1)=2≠0
Fx(x,y,z)=y+zexzFx(0,1,1)=2=0 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的隐函数
x
=
f
(
y
,
z
)
x=f(y,z)
x=f(y,z)
F
y
(
x
,
y
,
z
)
=
x
−
z
y
F
y
(
0
,
1
,
1
)
=
−
1
≠
0
F_y(x,y,z)=x-\dfrac{z}{y} \qquad F_y(0,1,1)=-1≠0
Fy(x,y,z)=x−yzFy(0,1,1)=−1=0 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的隐函数
y
=
f
(
x
,
z
)
y=f(x,z)
y=f(x,z)
F
z
(
x
,
y
,
z
)
=
ln
y
+
x
e
x
z
F
z
(
0
,
1
,
1
)
=
0
F_z(x,y,z)=\ln y +xe^{xz} \qquad F_z(0,1,1)=0
Fz(x,y,z)=lny+xexzFz(0,1,1)=0 无法作为分母,不能确定有存在连续偏导数的隐函数z=f(x,y)
答案:D
(七) 多元极值
1.无条件极值
z=f(x,y)极值存在的必要条件:驻点
f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 , f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f'_x(x_0,y_0)=0,f'_y(x_0,y_0)=0 fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0
可能取得极值的点:
①驻点 : f x ′ = 0 且 f y ′ = 0 f'_x=0且f'_y=0 fx′=0且fy′=0
②偏导数均不存在的点:f’x不存在且f’y不存在
③一个偏导为0,一个偏导不存在:f’x=0且f’y不存在
④一个偏导不存在,一个偏导为0:f’x不存在且f’y=0
z=f(x,y)极值存在的充分条件:AC-B² > 0
①必要条件:
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)是驻点,即
f
x
(
x
0
,
y
0
)
=
f
y
(
x
0
,
y
0
)
=
0
f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0
fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0
②充分条件:令
A
=
f
x
x
(
x
0
,
y
0
)
,
B
=
f
x
y
(
x
0
,
y
0
)
,
C
=
f
y
y
(
x
0
,
y
0
)
A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)
A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)
i. AC-B²>0,为极值点。A>0极小值,A<0极大值
ii. AC-B²<0,无极值点
iii. AC-B²=0,不定。可能有极值,可能无极值,还需另作讨论。用定义判定
例题1:11年3. 二元无条件极值
分析:
法一:极小值,则为凹,笑脸,
f
′
′
(
x
0
)
>
0
f''(x_0)>0
f′′(x0)>0。排除BD
法二:二元极值
①必要条件:
∂
z
∂
x
∣
0
,
0
=
f
′
(
x
)
ln
f
(
y
)
∣
(
0
,
0
)
=
0
,
∂
z
∂
y
∣
(
0
,
0
)
=
f
(
x
)
f
′
(
y
)
f
(
y
)
∣
(
0
,
0
)
=
0
\dfrac{∂z}{∂x}|_{0,0}=f'(x)\ln f(y)|_{(0,0)}=0,\dfrac{∂z}{∂y}|_{(0,0)}=f(x)\dfrac{f'(y)}{f(y)}|_{(0,0)}=0
∂x∂z∣0,0=f′(x)lnf(y)∣(0,0)=0,∂y∂z∣(0,0)=f(x)f(y)f′(y)∣(0,0)=0。是驻点,满足必要条件。
②充分条件:令 A = f x x ( x 0 , y 0 ) ∣ ( 0 , 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) ln f ( 0 ) , B = f x y ( 0 , 0 ) = f ′ ( x 0 ) f ′ ( y 0 ) f ( y 0 ) ∣ ( 0 , 0 ) = 0 , C = f y y ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 ) f ′ ′ ( y 0 ) f ( y 0 ) − f ′ 2 ( y ) f 2 ( y 0 ) ∣ ( 0 , 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) f ( 0 ) A=f_{xx}(x_0,y_0)|_{(0,0)}=f''(0)\ln f(0),B=f_{xy}(0,0)=f'(x_0)\dfrac{f'(y_0)}{f(y_0)}|_{(0,0)}=0,C=f_{yy}(x_0,y_0)=f(x_0)\dfrac{f''(y_0)f(y_0)-f'^2(y)}{f^2(y_0)}|_{(0,0)}=\dfrac{f''(0)}{f(0)} A=fxx(x0,y0)∣(0,0)=f′′(0)lnf(0),B=fxy(0,0)=f′(x0)f(y0)f′(y0)∣(0,0)=0,C=fyy(x0,y0)=f(x0)f2(y0)f′′(y0)f(y0)−f′2(y)∣(0,0)=f(0)f′′(0)
有极值,AC-B²>0,则
f
′
′
2
(
0
)
ln
f
(
0
)
f
(
0
)
>
0
\dfrac{f''^2(0)\ln f(0)}{f(0)}>0
f(0)f′′2(0)lnf(0)>0,∵f(x)>0 ∴lnf(0)>0,即f(0)>1
且因是极小值,
A
=
f
′
′
(
0
)
l
n
f
(
0
)
>
0
,
∴
f
′
′
(
0
)
>
0
A=f''(0)lnf(0)>0,∴f''(0)>0
A=f′′(0)lnf(0)>0,∴f′′(0)>0
答案:A
2.条件极值
代入法
化条件极值为无条件极值
①直角坐标
②圆、椭圆:参数方程
拉格朗日乘数法
1.二元函数z=f(x,y)的条件极值
要找二元函数 z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下可能的极值点:
①构造拉格朗日函数
L
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
+
λ
φ
(
x
,
y
)
L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
②对每个参数求一阶偏导: { L x = f x ( x , y ) + λ φ x ( x , y ) = 0 L y = f y ( x , y ) + λ φ y ( x , y ) = 0 L λ = φ ( x , y ) = 0 \left\{\begin{aligned} {\rm L}_x & = f_x(x,y)+λφ_x(x,y) = 0 \\ {\rm L}_y & = f_y(x,y)+λφ_y(x,y) = 0 \\ {\rm L}_λ & = φ(x,y) = 0 \\ \end{aligned}\right. ⎩ ⎨ ⎧LxLyLλ=fx(x,y)+λφx(x,y)=0=fy(x,y)+λφy(x,y)=0=φ(x,y)=0
③解方程组,得到可能的极值点
2.三元函数u=f(x,y,z)的条件极值
要找三元函数 u=f(x,y,z)在附加条件φ(x,y,z)=0下可能的极值点:
①构造拉格朗日函数
L
(
x
,
y
,
z
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
,
z
)
+
λ
φ
(
x
,
y
,
z
)
L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)
L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)
②对每个参数求一阶偏导: { L x = f x ( x , y , z ) + λ φ x ( x , y , z ) = 0 L y = f y ( x , y , z ) + λ φ y ( x , y , z ) = 0 L z = f z ( x , y , z ) + λ φ z ( x , y , z ) = 0 L λ = φ ( x , y , z ) = 0 \left\{\begin{aligned} {\rm L}_x & = f_x(x,y,z)+λφ_x(x,y,z) = 0 \\ {\rm L}_y & = f_y(x,y,z)+λφ_y(x,y,z) = 0 \\ {\rm L}_z & = f_z(x,y,z)+λφ_z(x,y,z) = 0 \\ {\rm L}_λ & = φ(x,y,z) = 0 \\ \end{aligned}\right. ⎩ ⎨ ⎧LxLyLzLλ=fx(x,y,z)+λφx(x,y,z)=0=fy(x,y,z)+λφy(x,y,z)=0=fz(x,y,z)+λφz(x,y,z)=0=φ(x,y,z)=0
③解方程组,得到可能的极值点
例题1:08年数二
答案:
例题2:18年16. 拉格朗日乘数法求条件极值
答案:
3.二元函数在有界闭区域上的最值
求二元函数在有界闭区域上的最值的3步骤:
①先求闭区域D内部各驻点的函数值
②闭区域D 边界的最大最小值
③驻点值与边界最值比大小,最大的为最大值,最小的为最小值
例题1:03年9. 二元极值
分析:
答案:A
例题2:07年17. 条件极值:不用求二阶导,只比较驻点函数值与边界函数值的大小
分析:
(八) 多元微分的几何应用
1.曲面的切平面与法线
若有曲面方程: F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0,切点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0):
①曲面的法向量 n ⃗ = { F x ′ , F y ′ , F z ′ } ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \vec{n}=\{F'_x,F'_y,F'_z\}|_{(x_0,y_0,z_0)} n={Fx′,Fy′,Fz′}∣(x0,y0,z0)
②切平面方程可表示为: F x ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( x − x 0 ) + F y ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( y − y 0 ) + F z ′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z − z 0 ) = 0 F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 Fx′(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy′(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz′(x0,y0,z0)(z−z0)=0
③曲面的法线方程: x − x 0 F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) \dfrac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)} Fx(x0,y0,z0)x−x0=Fy(x0,y0,z0)y−y0=Fz(x0,y0,z0)z−z0
例题1:13年2. 求切平面方程:先求法向量
分析:求切平面,先求法向量
F
(
x
,
y
,
z
)
=
x
2
+
c
o
s
(
x
y
)
+
y
z
+
x
=
0
F(x,y,z)=x^2+cos(xy)+yz+x=0
F(x,y,z)=x2+cos(xy)+yz+x=0,求出对应
F
x
,
F
y
,
F
z
F_x,F_y,F_z
Fx,Fy,Fz,并代入点(0,1,-1)。
得切平面方程:
F
x
(
x
−
x
0
)
+
F
y
(
y
−
y
0
)
+
F
z
(
z
−
z
0
)
=
0
F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0
Fx(x−x0)+Fy(y−y0)+Fz(z−z0)=0
答案:A
例题2:14年9.
分析:已知切点,只需要求法向量,即可点法式得切平面方程
z=f(x,y),曲面法向量为
n
⃗
=
(
f
x
,
f
y
,
−
1
)
\vec{n}=(f_x,f_y,-1)
n=(fx,fy,−1) ,切点为(1,0,1)
【f(x,y)较复杂,求偏导考虑先代后求:求谁谁不动,其他字母代数值】
f
(
x
,
y
)
=
x
2
(
1
−
s
i
n
y
)
+
y
2
(
1
−
s
i
n
x
)
f(x,y)=x^2(1-siny)+y^2(1-sinx)
f(x,y)=x2(1−siny)+y2(1−sinx)
f
(
x
,
0
)
=
x
2
,
f
x
=
2
x
∣
(
1
,
0
)
=
2
f(x,0)=x^2,f_x=2x|_{(1,0)}=2
f(x,0)=x2,fx=2x∣(1,0)=2
f
(
1
,
y
)
=
1
−
s
i
n
y
+
y
2
(
1
−
s
i
n
1
)
,
f
y
=
−
c
o
s
y
+
2
y
(
1
−
s
i
n
1
)
∣
(
1
,
0
)
=
−
1
f(1,y)=1-siny+y^2(1-sin1),f_y=-cosy+2y(1-sin1)|_{(1,0)}=-1
f(1,y)=1−siny+y2(1−sin1),fy=−cosy+2y(1−sin1)∣(1,0)=−1
∴
n
⃗
=
(
2
,
−
1
,
−
1
)
\vec{n}=(2,-1,-1)
n=(2,−1,−1)
∴切平面方程:2(x-1)-y-(z-1)=0,即2x-y-z-1=0
答案: 2 x − y − z − 1 = 0 2x-y-z-1=0 2x−y−z−1=0
例题3:03年2.
分析:点法式,求法向量和切点
曲面z=f(x,y),法向量为
n
1
⃗
=
(
f
x
,
f
y
,
−
1
)
=
(
2
x
0
,
2
y
0
,
−
1
)
\vec{n_1}=(f_x,f_y,-1)=(2x_0,2y_0,-1)
n1=(fx,fy,−1)=(2x0,2y0,−1)。平面法向量
n
2
⃗
=
(
2
,
4
,
−
1
)
\vec{n_2}=(2,4,-1)
n2=(2,4,−1)
与平面平行,则两者法向量成比例,即
2
x
0
2
=
2
y
0
4
=
−
1
−
1
=
1
\dfrac{2x_0}{2}=\dfrac{2y_0}{4}=\dfrac{-1}{-1}=1
22x0=42y0=−1−1=1,∴
x
0
=
1
,
y
0
=
2
,
z
0
=
5
x_0=1,y_0=2,z_0=5
x0=1,y0=2,z0=5
∴曲面法向量为(2,4,-1),切点(1,2,5),求点法式得切平面方程:2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=2x+4y-z-5=0
答案: 2 x + 4 y − z − 5 = 0 2x+4y-z-5=0 2x+4y−z−5=0
例题4:18年2.
分析:难点在于找切点,需要联立三个方程
答案:B
例题5:00年2. 求曲面的法线方程
分析:法线方程,同样只需要切点和法向量
①切点已知为(1-2,2)
②曲面的法向量
n
⃗
=
{
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
}
=
{
2
x
,
4
y
,
6
z
}
∣
(
1
,
−
2
,
2
)
=
{
2
,
−
8
,
12
}
\vec{n}=\{F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0)\}=\{2x,4y,6z\}|_{(1,-2,2)}=\{2,-8,12\}
n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}={2x,4y,6z}∣(1,−2,2)={2,−8,12}
③曲面的法线方程: x − 1 2 = y + 2 − 8 = z − 2 12 \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-8}=\dfrac{z-2}{12} 2x−1=−8y+2=12z−2,即 x − 1 1 = y + 2 − 4 = z − 2 6 \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-2}{6} 1x−1=−4y+2=6z−2
答案: x − 1 1 = y + 2 − 4 = z − 2 6 \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{-4}=\dfrac{z-2}{6} 1x−1=−4y+2=6z−2
2.曲线的切线与法平面
例题1:求曲线的切线方程和法平面方程,还是要求切点和切向量
分析:切点 ( π 2 − 1 , 1 , 2 2 ) (\dfrac{π}{2}-1,1,2\sqrt{2}) (2π−1,1,22),切向量 ( 1 , 1 , 2 ) (1,1,\sqrt{2}) (1,1,2)
答案:
例题2:已知切点,求切向量
分析:对于交面式,
τ
⃗
=
n
1
⃗
×
n
2
⃗
\vec{τ}=\vec{n_1}×\vec{n_2}
τ=n1×n2
n
1
⃗
=
(
2
,
−
4
,
2
)
\vec{n_1}=(2,-4,2)
n1=(2,−4,2),
n
2
⃗
=
(
1
,
1
,
1
)
\vec{n_2}=(1,1,1)
n2=(1,1,1)
τ
⃗
=
n
1
⃗
×
n
2
⃗
=
(
−
6
,
0
,
6
)
\vec{τ}=\vec{n_1}×\vec{n_2}=(-6,0,6)
τ=n1×n2=(−6,0,6)
答案:
例题3:01年7.
分析:
对于C,
{
F
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
x
,
y
)
−
z
=
0
G
(
x
,
y
,
z
)
=
y
=
0
\left\{\begin{aligned} F(x,y,z) & = f(x,y)-z = 0\\ G(x,y,z) & = y = 0 \end{aligned}\right.
{F(x,y,z)G(x,y,z)=f(x,y)−z=0=y=0
n
1
⃗
=
(
f
x
,
f
y
,
−
1
)
=
(
3
,
1
,
−
1
)
\vec{n_1}=(f_x,f_y,-1)=(3,1,-1)
n1=(fx,fy,−1)=(3,1,−1),
n
2
⃗
=
(
0
,
1
,
0
)
\vec{n_2}=(0,1,0)
n2=(0,1,0)
∴切向量 τ ⃗ = n 1 ⃗ × n 2 ⃗ = ( 1 , 0 , 3 ) \vec{τ}=\vec{n_1}×\vec{n_2}=(1,0,3) τ=n1×n2=(1,0,3)
答案:C
例题4:23李林六套卷(二) 11.
分析:
①切点:(1,1,0)
②求切向量:
{
F
(
x
,
y
,
z
)
=
−
x
+
y
2
=
0
G
(
x
,
y
,
z
)
=
3
(
y
−
1
)
−
z
=
3
y
−
3
−
z
=
0
\left\{\begin{aligned} F(x,y,z) & = -x+y^2 = 0\\ G(x,y,z) & = 3(y-1)-z =3y-3-z= 0 \end{aligned}\right.
{F(x,y,z)G(x,y,z)=−x+y2=0=3(y−1)−z=3y−3−z=0
n
1
⃗
=
(
−
1
,
2
y
,
0
)
=
(
−
1
,
2
,
0
)
\vec{n_1}=(-1,2y,0)=(-1,2,0)
n1=(−1,2y,0)=(−1,2,0)
n
2
⃗
=
(
0
,
3
,
−
1
)
\vec{n_2}=(0,3,-1)
n2=(0,3,−1)
∴切向量
τ
⃗
=
n
1
⃗
×
n
2
⃗
=
(
−
2
,
−
1
,
−
3
)
\vec{τ}=\vec{n_1}×\vec{n_2}=(-2,-1,-3)
τ=n1×n2=(−2,−1,−3)
答案: x − 1 2 = y − 1 1 = z 3 \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{3} 2x−1=1y−1=3z
(九) 方向导数与梯度
1.方向导数 ∂ f ∂ l \dfrac{∂f}{∂l} ∂l∂f
二元方向导数: ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ′ cos α + f y ′ cos β \dfrac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0)}=f'_x\cosα+f'_y\cosβ ∂l∂f∣(x0,y0)=fx′cosα+fy′cosβ
三元方向导数: ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = f x ′ cos α + f y ′ cos β + f z ′ cos γ \dfrac{∂f}{∂l}|_{(x_0,y_0,z_0)}=f'_x\cosα+f'_y\cosβ+f'_z\cosγ ∂l∂f∣(x0,y0,z0)=fx′cosα+fy′cosβ+fz′cosγ
例题1:05年3. 方向导数
分析:
答案:
3
3
\dfrac{\sqrt{3}}{3}
33
例题2:17年3.
分析:
答案:D
2.梯度 grad
方向导数与梯度的关系:方向导数最大的方向即为梯度方向;最大值为梯度的模
二元梯度: g r a d ⃗ f ∣ ( x 0 , y 0 ) = f x ′ i ⃗ + f y ′ j ⃗ \vec{grad}f|_{(x_0,y_0)}=f'_x\vec{i}+f'_y\vec{j} gradf∣(x0,y0)=fx′i+fy′j
三元梯度: g r a d ⃗ f ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = f x ′ i ⃗ + f y ′ j ⃗ + f z ′ k ⃗ \vec{grad}f|_{(x_0,y_0,z_0)}=f'_x\vec{i}+f'_y\vec{j}+f'_z\vec{k} gradf∣(x0,y0,z0)=fx′i+fy′j+fz′k
例题1:12年11. 梯度就是
i
⃗
,
j
⃗
,
k
⃗
\vec{i},\vec{j},\vec{k}
i,j,k
分析: f x = y , f y = x − z y 2 , f z = 1 y f_x=y,f_y=x-\dfrac{z}{y^2},f_z=\dfrac{1}{y} fx=y,fy=x−y2z,fz=y1
g r a d ⃗ f ∣ ( 2 , 1 , 1 ) = f x ( 2 , 1 , 1 ) i ⃗ + f y ( 2 , 1 , 1 ) j ⃗ + f z ( 2 , 1 , 1 ) k ⃗ = i ⃗ + j ⃗ + k ⃗ = ( 1 , 1 , 1 ) \vec{grad}f|_{(2,1,1)}=f_x(2,1,1)\vec{i}+f_y(2,1,1)\vec{j}+f_z(2,1,1)\vec{k}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(1,1,1) gradf∣(2,1,1)=fx(2,1,1)i+fy(2,1,1)j+fz(2,1,1)k=i+j+k=(1,1,1)
答案: i ⃗ + j ⃗ + k ⃗ \vec{i}+\vec{j}+\vec{k} i+j+k 或 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1)
例题2:22年11. 方向导数与梯度的关系:最大方向导数为梯度的模长
分析:最大方向导数为梯度的模长
g
r
a
d
f
(
x
,
y
)
∣
(
0
,
1
)
=
2
x
i
⃗
+
4
y
j
⃗
∣
(
0
,
1
)
=
4
j
⃗
gradf(x,y)|_{(0,1)}=2x\ \vec{i}+4y\ \vec{j}|_{(0,1)}=4\ \vec{j}
gradf(x,y)∣(0,1)=2x i+4y j∣(0,1)=4 j
故梯度的模长
∣
g
r
a
d
f
(
x
,
y
)
∣
(
0
,
1
)
∣
=
∣
{
0
,
4
}
∣
=
0
2
+
4
2
=
4
|gradf(x,y)|_{(0,1)}|=|\{0,4\}|=\sqrt{0²+4²}=4
∣gradf(x,y)∣(0,1)∣=∣{0,4}∣=02+42=4
答案:4
例题3:19年16. 方向导数与梯度的关系、第一类曲面积分
分析:方向导数与梯度的关系:方向导数最大的方向即为梯度方向;最大值为梯度的模
答案:
(十) 二元泰勒公式:泰勒多项式
背住第二行的公式即可:
①先求出
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x_0,y_0)
f(x0,y0)、
f
x
′
(
x
0
,
y
0
)
f_x'(x_0,y_0)
fx′(x0,y0)、
f
y
′
(
x
0
,
y
0
)
f_y'(x_0,y_0)
fy′(x0,y0)、
f
x
x
′
′
(
x
0
,
y
0
)
f_{xx}''(x_0,y_0)
fxx′′(x0,y0)、
f
x
y
′
′
(
x
0
,
y
0
)
f_{xy}''(x_0,y_0)
fxy′′(x0,y0)、
f
y
y
′
′
(
x
0
,
y
0
)
f_{yy}''(x_0,y_0)
fyy′′(x0,y0)
②代入公式即可
例题1:23李林四(三)13.
分析:
答案:5+2(x-1)²-(x-1)(y+2)-(y+2)²