前言

快速幂在算法比赛中十分的重要，而且代码简短，清楚易懂，大家应该熟练掌握！！！

一、什么是快速幂？

快速幂是一种高效的算法，用于计算某个数的n次幂。它的基本思想是将原式转换为几个较小的数的乘积，通过递归的方式逐步逼近最终结果。具体来说，对于任意非零整数a和正整数n，快速幂可以通过以下步骤实现：

初始化：令`res = 1`，`base = a`。
重复：直到`n > 0`为止。
判断模性：检查`n & 1`，如果`n & 1`为真，则将`res`乘以`base`并更新`res`；否则不需要修改`res`。
调整基数：将`n /= 2`，同时将`base`减半以准备下一次迭代。
这种算法的时间复杂度为O(log₂N)，这比传统的O(N)算法要快得多。快速幂的具体实现可能涉及位运算或其他优化技术，如二分查找或分治策略，以进一步提升性能。

以下是几种不同的快速幂实现方法：

使用位运算和二分查找的快速幂实现：

`int fastPow(int a, int n)`函数示例，使用了`n & 1`来判断模性和调整基数。
另一种更复杂的实现，包括位运算和二分查找，以及使用模运算的简化形式。
使用二叉树的快速幂实现：

通过构建一个二叉树来存储指数部分，并通过递归的方式计算乘积。
使用JavaScript语言的快速幂实现：

利用JavaScript的数据结构如数组和对象来实现快速幂的计算过程。
使用C语言实现的快速幂：

使用`while`循环和位运算来完成快速幂的计算。
这些实现都展示了快速幂的基本思想和实现细节，它们都是为了减少计算次数和时间复杂度，从而提供更高的计算效率

二、例题

1.快速幂

模板：

求 m^k mod p，时间复杂度 O(logk)。

int qmi(int m, int k, int p)
{
    int res = 1 % p, t = m;
    while (k)
    {
        if (k&1) res = res * t % p;
        t = t * t % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long ;

int qmi(LL a, int b, int p)
{
    LL  ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)  ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m -- )
    {
        int a, b, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);
        printf("%lld\n", qmi(a, b, p));
    }
    return 0;
}

2.快速幂求逆元

---

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long ;

LL qmi(LL a, int b, int p)
{
    LL ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)  ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int m;
    scanf("%d", &m);
    while (m -- )
    {
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        if (a % p == 0) puts("impossible");
        else    printf("%lld\n", qmi(a, p - 2, p));
    }
    return 0;
}

总结

快速幂很重要，希望大家能够熟练，感谢大家观看！！！