一、数学基础

先验概率（Prior Probability）：

• 先验概率是在考虑任何新观测数据之前，基于先前的知识或信仰，对事件发生的概率的初始估计。这是对事件的主观先验信仰或经验的量化体现。

• 记作 P(A)，表示事件 A 在考虑新的观测数据之前的概率。先验概率可以基于领域专家的经验、历史数据或任何相关信息。

🌍先验概率，就是由以往的数据分析所得。

后验概率（Posterior Probability）：

• 在观测到新数据之后，通过贝叶斯定理计算得到的更新概率，即在考虑了先验概率的基础上，考虑新的观测数据后事件发生的概率。

• 记作 P(A|B)，表示在给定观测数据 B 的情况下，事件 A 发生的概率。这是基于新的数据调整过的概率。

🌍后验概率，在得到信息之后重新加以修正得到的概率。

二、贝叶斯决策论

2.1 贝叶斯定理

其中：

• P(A∣B) 是后验概率，表示在给定观测到 B 的情况下，事件 A 发生的概率。
• P(B∣A) 是似然度，表示在事件 A 发生的情况下观测到 B 的概率。
• P(A) 是先验概率，表示在考虑观测数据 B 之前事件 A 发生的概率。
• P(B) 是边缘似然度，表示观测到数据 B 的概率。

1. 先验概率 P(A): 在考虑观测到任何新数据 B 之前，我们对事件 A 的初始信仰，即在没有新证据的情况下，事件 A 发生的概率。

2. 似然度 P(B∣A): 在事件 A 发生的条件下，观测到数据 B 的概率。这描述了事件 A 对观测数据 B 的影响。

3. 边缘似然度 P(B): 观测到数据 B 的概率，考虑所有可能的事件。它是一个归一化因子，确保后验概率 P(A∣B) 在所有可能的事件 A 下加和为1。

4. 后验概率 P(A∣B): 在观测到数据 B 之后，事件 A 发生的概率。这是通过将先验概率与新的证据（似然度）结合起来得到的。

2.2 贝叶斯决策论

【贝叶斯决策论】：是一种基于贝叶斯统计学的决策方法，它通过考虑先验概率、似然度以及决策损失来做出最优决策。这种方法可以应用于各种决策问题，包括分类、回归和其他决策场景。

【贝叶斯决策】： 在贝叶斯决策理论中，我们希望选择那个最小化总体期望损失的决策。决策损失的期望值通过对所有可能状态的加权平均来计算，其中权重是先验概率。

🌍我们的任务是寻找一个判定标准，以最小化总体期望损失。 

决策过程：

1. 计算后验概率： 使用贝叶斯定理计算在给定观测数据的情况下，每个可能状态的后验概率。

2. 计算期望损失： 对于每种可能的决策，计算总体期望损失。

3. 选择最小化期望损失的决策： 选择那个使期望损失最小的决策，即选择总体期望损失最小的决策。