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前言

本片是对非参数检验最后的介绍。

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非参数检验

两个独立样本的Mann-Whitney检验

Mann -Whitney检验也称为Mann- Whitney U检验（Mann-Whitney U test）或称为 Wilcoxon秩和检验，它是由 Henry B.Mann和D.R. Whitney于1947年提出的。用于确定两个总体间是否存在差异的一种非参数检验方法，该检验是两个独立样本t检验(或者z检验)的一种替代方法(参数方法)，但它不需要诸如总体服从正态分布且方差相等之类的假设，唯一的要求是两个独立随机样本的数据至少是顺序数据。
Mann -Whitney检验与Wilcoxon符号秩检验不同，它不基于相关样本，而是使用两个独立样本。

H0 ：两个总体相同，H1 ：两个总体不相同
或等价于
H0：Mx=My ；H1：Mx≠My

当Mann -Whitney检验拒绝H0时，可以得出两个总体不同的结论，但并不能证实它们究竟在哪些方面
是不同的，两个总体可能有不同的均值、不同的方差，或者不同的分布形式。

Mann -Whitney-检验也可以用于判断两个总体在中心位置上是否相同，也就是考察总体X的中位数
和总体Y的中位数 是否相等，因此也可提出如下形式的假设
H0：Mx=My ；H1：Mx≠My

H0：Mx=My ；H1：Mx≠My

如果H0为真，那么将m个x和n个y的数据混合在一起，并从小到大排列，这m+n=N个数据能够看作来
自相同总体的一个随机样本.若大部分的x大于y，或大部分的y大于x，则不能证明这n+m=N个数据来
自同一个总体，因此应拒绝H0

检验步骤

把两组数据混合在一起，得到m+n＝N个数据，将N个数据从小到大排列，并找出N个数据的秩。
分别对样本(x1，x2，…，xm)和(y1，y2，…，yn)的秩求出平均秩，得到两个平均秩 和 ，并对平均秩的差距进行比较：若二者相差甚远，意味着一组样本的秩普遍偏小，另一组样本的秩普遍偏大，此时原假设有可能不成立，计算样本(x1，x2，…，xm)中每个秩大于样本(y1，y2，…，yn)的每个秩的个数 ，以及样本(y1，y2，…，yn)中每个秩大于样本(x1，x2，…，xm)中每个秩的个数，并对 和 进行比较，如果相差较大，此时原假设有可能不成立。

例题：
（数据： example6_6. RData）沿用例6-6。假定不知道两家企业生产的灯泡的使用寿命服从何种分布，检验两家企业生产的灯泡的使用寿命是否相同( =0.05)

解：将甲企业作为一个总体X，乙企业作为另一个总体Y，要检验两家企业生产的灯泡的使用寿命是否相同，就是检验两个总体的位置参数是否相等。因此提出如下假设：
H0：M甲=M乙；H1：M甲≠M乙
首先将两组数据混合在一起，得到20+20=40个数据，将40个数据从小到大排列，并找出它们的秩。然后计算检验统计量，并根据P值做出决策。检验的R代码和结果如下所示
函数wilcox.test（x，y，）中的x和y是两个样本。 paired=true表示进行配对检验，默认 paired=FALSE。

load("C:/example/ch6/example6_6.RData")
attach(example6_6)
wilcox.test(甲企业,乙企业)

结论：在该项检验中，统计量W=319，P=0.009334，P<0.05，拒绝H0，有证据显示两家企业灯泡的使用寿命有显著差异。

注：函数wilcox.test（x，y，）中的x和y是两个样本。 paired=true表示进行配对检验，默认 paired=FALSE。
Wilcoxon符号秩检验是配对样本t检验(参数方法)的一种替代方法，该检验只要
求两个样本的数据之差服从对称分布。
检验两个总体的分布是否相同，或者说两个总体的中位数是否相同
设X，Y是两个连续的总体，且具有对称分布，两个总体分别随机抽取n个观察值，
组成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），每个数对的差记为di=xi-yi
若X，Y是具有相同分布的总体，则有P（di>0）=P（di<0），即xi>yi的概率与xi<yi
的概率相等，这也意味着差值di的中位数等于0。用Md表示差值di的中位数，如果关
心两个总体的分布是否相同，或者说两个总体的中位数是否相同，可以建立如下假
设： H0: Md=0 ；H1: Md≠0 (Md表示差值的中位数)

检验步骤
计算各数据对的差值di，并取绝对值，排序后求出秩，最小的|di|秩为1，最大的|di|秩为n。如果有相同的|di|则取各点秩的均值 。
计算检验统计量W或z：
对于正的di的秩和负的di的秩分别加总，得到正秩的总和 与负秩的总和 Wilcoxon符号秩检验的统计量是 和 中的较小者。对于双侧检验H0: Md=0 ；H1: Md≠0；在H0为真时 与 的大小应该近似相等，如果二者差异较大应怀疑H0，根据P值作出决策。

例题：
（数据： example6_7. RData）沿用例6-7。检验消费者对两种饮料的评分是否有显著差异( =0.05)
解：设消费者对新款饮料的评分为X，对旧款饮料的评分为Y
提出如下假设：
H0：X=Y；H1：X≠Y

load("C:/example/ch6/example6_7.RData")
attach(example6_7)
wilcox.test(旧款饮料,新款饮料,paired=TRUE)

结论：在该项检验中，在该项检验中，V=5.5，P=0.04759，P<0.05，拒绝H0，有证据显示消费者对新旧饮料的评分有显著差异。

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练习

1、（exercise6_9.RData）为了解一种节能灯的使用寿命，随机抽取了10只灯泡，测得其使用寿命（单位：小时）如exercise6_9.RData所示，采用 Wilcoxon符号秩检验检验该种节能灯使用寿命的中位数是否等于6000小时（α=0.05）。

设：M1代表该种节能灯使用寿命的中位数；M2 代表该种节能灯使用寿命的中位数为6000
H0：M1=M2 H1：M1 ≠M2

 wilcox.test(exercise6_9$寿命,m=6000)

结论：在该项检验中，V=41，P=0.1934，P>0.05，不拒绝H0，故有证据表明该种节能灯使用寿命的中位数为6000小时。

2、（exercise6_10.RData）某种品牌的彩电在两个城市销售，在A城市和B城市各有8个商场销售。exercise6_10.RData记载了各商场一年的销售量（单位：台）。采用Mann- Whitney检验分析两个城市的销售量是否有显著差异(α=0.05)。
设：设：μ1为A城市一年销售量的中位数；μ2为A城市一年销售量的中位数
H0：μ1=μ2 H1：μ1 ≠μ2

attach(exercise6_10)
wilcox.test(A城市,B城市)

结论：在该项检验中，V=26.5，P=0.5992，P>0.05，不拒绝H0，故有证据表明两个城市的销售量有显著差异。

3、（exercise6_11.RData）为分析股票的每股盈利状况，在某证券市场上随机抽取10只股票，得到上年度和本年度的每股盈利（单位：元）数据如exercise6_11.RData所示。采用 Wilcoxon符号秩检验分析：本年度与上年度相比，每股盈利是否有显著提高（α=0.05）。
设Md为上年度每股盈利的中位数与本年度每股盈利的中位数的差值。
H0：Md>=0 H1：Md < 0

wilcox.test(exercise6_11$上年度,exercise6_11$本年度,alt=”less”,paired=T)

结论：在该项检验中，P= 0.04147，P<0.05，拒绝原假设，有证据表明，本年度与上年度相比，每股盈利有显著提高。