《动手学深度学习(PyTorch版)》笔记3.4

Chapter3 Linear Neural Networks

3.4 Softmax Regression

3.4.1 Classification Problems

一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关，统计学家发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。在我们的例子中，标签 $y$ 将是一个三维向量，其中 $(1, 0, 0)$ 对应于“猫”、 $(0, 1, 0)$ 对应于“鸡”、 $(0, 0, 1)$ 对应于“狗”：
$\in \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}.$

3.4.2 Network Architecture

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。每个输出对应于它自己的仿射函数。在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的 $w$ ），3个标量来表示偏置（带下标的 $b$ ）。下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）： $o_1$ 、 $o_2$ 和 $o_3$ 。

$\begin{aligned} o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{12} + x_3 w_{13} + x_4 w_{14} + b_1,\\ o_2 &= x_1 w_{21} + x_2 w_{22} + x_3 w_{23} + x_4 w_{24} + b_2,\\ o_3 &= x_1 w_{31} + x_2 w_{32} + x_3 w_{33} + x_4 w_{34} + b_3. \end{aligned}$
上式通过向量形式表达为 $\mathbf{o} = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}$ 。
我们可以用神经网络图来描述这个计算过程，如下图所示。与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出 $o_1$ 、 $o_2$ 和 $o_3$ 取决于所有输入 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $x_3$ 和 $x_4$ ，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

在这里插入图片描述

3.4.3 Parameterization Cost of Fully-Connected Layers(此段书上内容较少，有待详细补充)

在深度学习中，全连接层无处不在。然而，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。具体来说，对于任何具有 $d$ 个输入和 $q$ 个输出的全连接层，参数开销(在传递函数或方法参数时引入的额外开销)为 $\mathcal{O}(dq)$ ，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。幸运的是，将 $d$ 个输入转换为 $q$ 个输出的成本可以减少到 $\mathcal{O}(\frac{dq}{n})$ ，其中超参数 $n$ 可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性。

3.4.4 Softmax Operation

现在我们将优化参数，以最大化预测结果符合实际情况的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。我们希望模型的输出 $\hat{y}_j$ 可以视为属于类 $j$ 的概率，然后选择具有最大输出值的类别 $\operatorname*{argmax}_j y_j$ 作为我们的预测。例如，如果 $\hat{y}_1$ 、 $\hat{y}_2$ 和 $\hat{y}_3$ 分别为0.1、0.8和0.1，那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。但我们不能将未规范化的预测 $o$ 直接视作我们感兴趣的输出，因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1；另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。例如，在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。这个属性叫做校准（calibration）。

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上发明的softmax函数正是这样做的：softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

$\hat{\mathbf{y}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})\quad \text{其中}\quad \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}$

这里，对于所有的 $j$ 总有 $\leq \hat{y}_j \leq 1$ 。因此， $\hat{\mathbf{y}}$ 可以视为一个正确的概率分布。softmax运算不会改变未规范化的预测 $\mathbf{o}$ 之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$\operatorname*{argmax}_j \hat y_j = \operatorname*{argmax}_j o_j.$

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型。

3.4.5 Softmax Vectorization

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本 $\mathbf{X}$ ，其中特征维度（输入数量）为 $d$ ，批量大小为 $n$ 。此外，假设我们在输出中有 $q$ 个类别。那么小批量样本的特征为 $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$ ，权重为 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{d \times q}$ ，偏置为 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{1\times q}$ 。softmax回归的矢量计算表达式为：

$\begin{aligned} \mathbf{O} &= \mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}, \\ \hat{\mathbf{Y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{O}). \end{aligned}$

相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了 $\mathbf{X}和\mathbf{W}$ 的矩阵-向量乘法。由于 $\mathbf{X}$ 中的每一行代表一个数据样本，那么softmax运算可以按行（rowwise）执行：对于 $\mathbf{O}$ 的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。在上式中， $\mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}$ 的求和会使用广播机制，小批量的未规范化预测 $\mathbf{O}$ 和输出概率 $\hat{\mathbf{Y}}$ 都是形状为 $\times q$ 的矩阵。

3.4.6 Loss Function

接下来，我们将使用最大似然估计来度量预测的效果,这与在线性回归中的方法相同。

3.4.6.1 Log Likelihood

softmax函数给出了一个向量 $\hat{\mathbf{y}}$ ，我们可以将其视为“对给定任意输入 $\mathbf{x}$ 的每个类的条件概率”。例如， $\hat{y}_1$ = $P(y=\text{猫} \mid \mathbf{x})$ 。假设整个数据集 $\{\mathbf{X}, \mathbf{Y}\}$ 具有 $n$ 个样本，其中索引 $i$ 的样本由特征向量 $\mathbf{x}^{(i)}$ 和独热标签向量 $\mathbf{y}^{(i)}$ 组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：

$P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}).$

根据最大似然估计，我们最大化 $P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X})$ ，相当于最小化负对数似然：

$-\log P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n -\log P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}) = \sum_{i=1}^n l(\mathbf{y}^{(i)}, \hat{\mathbf{y}}^{(i)})\text{(对数似然损失等于交叉熵损失的总和,后续补充)}$

其中，对于任何标签 $\mathbf{y}$ 和模型预测 $\hat{\mathbf{y}}$ ，损失函数为：

$l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = - \sum_{j=1}^q y_j \log \hat{y}_j.$

上式中的损失函数通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。由于 $\mathbf{y}$ 是一个长度为 $q$ 的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项 $j$ 都消失了。由于所有 $\hat{y}_j$ 都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于 $0$ 。因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签 $P(\mathbf{y} \mid \mathbf{x})=1$ ，则损失函数不能进一步最小化。注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。
由对数似然损失等于交叉熵损失的总和(后续补充),有
$\sum_{i=1}^n -\log P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}) = \sum_{i=1}^n l(\mathbf{y}^{(i)}, \hat{\mathbf{y}}^{(i)})$
现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。对于标签 $\mathbf{y}$ ，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如 $(0.1, 0.2, 0.7)$ ，而不是仅包含二元项的向量 $(0, 0, 1)$ 。我们使用交叉熵损失来定义所有标签分布的预期损失值，它是分类问题最常用的损失之一。

3.4.6.2 Softmax and Derivatives

由于softmax和相关的损失函数很常见，因此我们需要更好地理解它的计算方式。利用softmax的定义，我们得到：

$\begin{aligned} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) &= - \sum_{j=1}^q y_j \log \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} \\ &= \sum_{j=1}^q y_j \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j\\ &= \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j \end{aligned}$
关于最后一行，由于 $\mathbf{y}$ 是一个长度为 $q$ 的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项 $j$ 都消失了。
考虑相对于任何未规范化的预测 $o_j$ 的导数，我们得到：

$\partial_{o_j} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} - y_j = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})_j - y_j.$

换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值 $y$ 和估计值 $\hat{y}$ 之间的差异。这不是巧合，在任何指数族分布模型中（参见本书附录中关于数学分布的一节），对数似然的梯度正是由此得出的。这使梯度计算在实践中变得容易很多。

3.4.7 Basics of Information Theory

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

3.4.7.1 Entropy

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容，该数值被称为分布 $P$ 的熵（entropy），可以通过以下方程得到：

$\sum_j - P(j) \log P(j).$

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布 $p$ 中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要 $H [P]$ “纳特（nat）”对其进行编码。“纳特”相当于比特（bit），但是对数底为 $e$ 而不是2。因此，一个纳特是 $\frac{1}{\log(2)} \approx 1.44$ 比特。

3.4.7.2 Amount of Information

压缩与预测有什么关系呢？想象一下，我们有一个要压缩的数据流，如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，那么为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息，也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到"惊异"。克劳德·香农决定用信息量 $\log \frac{1}{P(j)} = -\log P(j)$ 来量化这种惊异程度。在观察一个事件 $j$ 时，并赋予它（主观）概率 $P (j)$ 。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。在前文中定义的熵，是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。