数据结构—基础知识（十）：树和二叉树(b)

二叉树的定义

二叉树( Binary Tree)是n(n≥0)个结点所构成的集合，它或为空树(n=0)；或为非空树，对于非空树T:

1. 有且仅有一个称之为根的结点；
2. 根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T1和 T2,分别称为T的左子树和右子树，且T1和T2本身又都是二叉树。

二叉树与树一样具有递归性质，二叉树与树的区别主主要有以下两点:

1. 二叉树每个结点至多只有两棵子树(即二叉树中中不存在度大于2的结点);
2. 二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒到。

二叉树的递归定义表明二叉树或为空，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。由于这两棵子树也是二叉树，则由二叉树的定义，它们也可以是空树。由此，二叉树可以有5种基本形态，如下图所示。

注：有关树的术语是都适用于二叉树。

二叉树的性质

二叉树具有以下重要特性：

性质1 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i≥1)。

性质2 深度为k的二叉树至多有(2^k)-1个结点(k≥1)。

性质3 对任何一棵二叉树T，如果其终端节点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1；结点总数为n=n0+n1+n2。

再看二叉树中的分支数。除根结点外，其余一个结点都有一个分支进入，设B为分支总数，则n=B+1。由于这些分支是由度为1或2的结点射出的，所以又有B=n1+2·n2。于是得n=n1+2·n2+1。

满二叉树和完全二叉树

满二叉树：深度为k且含有(2^k)-1个结点的二叉树。

• 满二叉树的特点是:每一层上的结点数都是最大结点数，即每一层i的结点数都具有最大值2。
• 可以对满二叉树的结点进行连续编号，约定编号从根结点起，自上而下，自左至右。由此可引出完全二叉树的定义。
  

完全二叉树：深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

完全二叉树的特点是：

1. 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；
2. 对任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为l，则其左分支下的子孙的最大层次必为l或I+1。

性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为log(2)(n)（向下取整）+1

性质5 如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为log(2)(n)（向下取整）+1）的结点按层序编号（从第1层到第log(2)(n)（向下取整）+1层，每层从左到右），则对任一结点i（1≤i≤n），有：

1. 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，其双亲PARENT(i)是结点i/2（向下取整）。
2. 如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i。
3. 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1。