1.$PageRank$算法背景

   $PageRank$ 算法是现代数据科学中用于图链接分析的经典方法，最初由 $Larry$ $Page$ 和 $Sergey$ $Brin$ 在1996年提出。两位斯坦福大学研究生认为互联网上的链接结构能够反映页面的重要性，与当时基于关键词的搜索方法形成对比。这一独特观点不仅赢得了学术界的认可，也为后来创建的 $Google$搜索引擎奠定了基础。

   $PageRank$的核心思想基于有向图上的随机游走模型，即一阶马尔可夫链。描述了随机游走者如何沿着图的边随机移动，最终收敛到一个平稳分布。在这分布中，每个节点被访问的概率即为其 $PageRank$ 值，代表节点的重要性。 $PageRank$是递归定义的，计算需要迭代方法，因为一个页面的值部分取决于链接到它的其他页面的值。尽管最初设计用于互联网页面，但 $PageRank$ 已广泛应用于社会影响力、文本摘要等多个领域，展示了其在图数据上的强大实用性。

2.$PageRank$算法基础

2.1.$PageRank$问题描述

   $PageRank$ 算法是互联网早期用于评估网页重要性的方法。其核心概念是将互联网视为一个有向图，其中每个网页是一个节点，超链接是有向边。通过建立一阶马尔可夫链的随机游走模型，模拟虚拟网页浏览者随机跳转，最终形成一个平稳分布。每个网页的 $PageRank$ 值代表其在这个分布中的概率，即重要性。

   举例说明，如下图所示，假设有三个网页 $A$、$B$ 和 $C$，$A$ 链接到 $B$ 和 $C$，$B$ 只链接到 $C$，而 $C$ 只链接到 $A$。随机游走模型中，从 $A$ 出发的浏览者有 50% 的概率跳转到 $B$ 或 $C$；从 $B$ 出发的浏览者会 100% 跳转到 $C$；从 $C$ 出发的浏览者会 100% 跳转到 $A$。经过多次迭代，$C$ 的 $PageRank$ 值可能比 $A$ 和 $B$ 高，因为它接收到了 $A$ 和 $B$ 的流量。

   $PageRank$算法直观上认为，一个网页被指向的超链接越多，随机跳转到该网页的概率越高，其$PageRank$值越高，表示网页越重要。反之，指向该网页的$PageRank$值越高，该网页$PageRank$值也越高，表明其重要性增加。PageRank值依赖于网络拓扑结构，一旦确定，$PageRank$值也确定。计算通过迭代，在互联网有向图上进行。初始假设一个分布，通过迭代计算所有网页的$PageRank$值直至收敛。有向图和随机游走模型定义了$PageRank$的基本原理，而基本定义对应于理想情况，一般定义则考虑实际网络中的复杂性。

2.2.有向图模型

  有向图($Directed$ $Graph$)是图论的基本概念，由节点和有向边组成。每条边有起始节点和终止节点，表示方向性。在互联网中，每个网页可看作有向图中的一个节点，超链接则表示有向边。

  以三个网页 A、B 和 C 为例，网页 A 包含指向 B 和 C 的链接，B 包含指向 C 的链接，而 C 包含指向 A 的链接。这构成有向图的边集合，即 E={(A,B),(A,C),(B,C),(C,A)}。

  有向图中的周期性结构可通过路径的长度判断，例如，从节点 A 出发返回 A 需要经过长度为 3 的倍数的路径。这样的有向图被称为周期性图。

2.3.随机游走模型

  给定一个含有$n$个结点的有向图，在有向图上定义随机游走（$Random$ $Walk$）模型，即一阶马尔可夫链，其中结点表示状态，有向边表示状态之间的转移，假设从一个结点到通过有向边相连的所有结点的转移概率相等。具体地，转移矩阵是一个$n$阶矩阵。
$$M=[m_{ij}{]}_{n\times n}$$

  第$i$行第$j$列的元素$m_{ij}$取值规则如下：如果结点$j$有有$k$个有向边连出，并且结点$i$是其连出的一个结点则$m_{ij}=\frac{1}{k}$，否则$m_{ij}=0$.
注意转移矩阵$M$具有如下约束条件:
$$m_{ij}\ge 0$$
$$\sum _{i=1}^n{m}_{ij}=1$$
  即每个元素非负，每列元素之和为1即矩阵$M$为随机矩阵（$stochastic$ $matrix$）。
  在有向图上的随机游走形成马尔可夫链。也就是说，随机游走者每经过一个单位时间转移一个状态。如果当前时刻在第 $i$ 个结点（状态），那么下一个时刻在第 $j$ 个结点（状态）的概率是 $P_{ij}$。这一概率只依赖于当前的状态，与过去无关，具有马尔可夫性。

3.$PageRank$算法定义

3.1.$PageRank$算法基本定义

  给定一个包含 $n$ 个结点的强连通且非周期性的有向图，在其基础上定义随机游走模型。假设转移矩阵为 $M$，在时刻 $0,1,2,\dots ,t,\dots$，访问各个结点的概率分布为 ${\mathbf{p}}_0,{\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_t,\dots$。其中，${\mathbf{v}}_0$ 是初始概率分布。

$${\mathbf{p}}_0={\mathbf{v}}_0,{\mathbf{p}}_{t+1}={\mathbf{p}}_t\cdot M$$

  则极限为:
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{M}^t{R}_0=R$$
  存在极限向量$R$表示马尔可夫链的平稳分布，满足:
$$MR=R$$
  平稳分布$R$称为这个有向图的 $PageRank$。 $R$的各个分量称为各个结点的$PageRank$值。
$$R=[\begin{array}{c}PR\left(v_1\right)\\ PR\left(v_2\right)\\ ⋮\\ PR\left(v_n\right)\end{array}]$$

  其中
$$PR\left(v_i\right)=\sum _{v_j\in M\left(v_i\right)}\frac{PR\left(v_j\right)}{L\left(v_j\right)},i=1,2,\cdots ,n$$

  这里 $M(v_i)$ 表示指向结点 $v_i$的结点集合，$L(v_j)$ 表示结点 $v_j$ 连出的有向边的个数。

3.2.$PageRank$算法一般定义

  为了考虑到用户不仅会通过点击链接来浏览网页，还可能随机选择一个网页。因此需要在基本定义的基础上导入平滑项阻尼因子。阻尼因子 $d$ 取值由经验决定，例如 $d=0.85$。当 $d$ 接近1时，随机游走主要依照转移矩阵 $M$ 进行；当 $d$ 接近0时，随机游走主要以等概率随机访问各个结点。
$$\begin{array}{rl}R& =(dM+\frac{1-d}{n}\mathbf{E})R\\ & =dMR+\frac{1-d}{n}1\end{array}$$

  相当于:
$$PR\left(v_i\right)=d\left(\sum _{v_j\in M\left(v_i\right)}\frac{PR\left(v_j\right)}{L\left(v_j\right)}\right)+\frac{1-d}{n},i=1,2,\cdots ,n$$

4.$PageRank$算法计算

4.1.幂迭代法

  首先给每个页面赋予随机的PR值，然后通过 $P_{n+1}=A\cdot P_n$ 不断地迭代$PR$值。当满足下面的不等式后迭代结束，获得所有页面的$PR$值：

$$|P_{n+1}-P_n|<ϵ$$

  其中，$ϵ$是预先定义的小正数。

4.2.特征值法

  特征值法是一种用于求解线性代数问题的方法，其中之一就是求解矩阵的特征值和特征向量。在上述描述中，特征值法用于分析 $Markov$ 链的收敛行为。

  具体来说，对于一个方阵 $A$，其特征值（$eigenvalues$）$\lambda$ 和对应的特征向量（$eigenvectors$）$\mathbf{v}$满足以下方程：

$$A\cdot \mathbf{v}=\lambda \cdot \mathbf{v}$$

  这个方程可以重写为 $(A-\lambda \cdot I)\cdot \mathbf{v}=0$，其中 $I$ 是单位矩阵。

  对于 $Markov$ 链的情况，我们考虑转移矩阵 $A$。特征值法告诉我们，当 $A$ 的特征值中存在一个值为 1 时，对应的特征向量可以用来表示 Markov 链的收敛状态。这个特征向量的所有分量均为正，而且是唯一的。

  在 $PageRank$ 算法中，我们通过不断迭代

$$P_{n+1}=A\cdot P_n$$

  来逼近这个特征向量，直到收敛。这就是特征值法在 $PageRank$ 算法中的应用。

4.3.代数法

  相似的，当上面提到的$Markov$链收敛时，必有：
$$\begin{array}{c}P=AP\\ \Rightarrow P=(\alpha S+\frac{(1-\alpha )}{N}e{e}^T)P\\ \text{方量都为}1\text{的列向量,}P\text{的所有分量之和为}1\\ \Rightarrow P=\alpha SP+\frac{(1-\alpha )}{N}e\\ \Rightarrow (e{e}^T-\alpha S)P=\frac{(1-\alpha )}{N}e\\ \Rightarrow P=(e{e}^T-\alpha S{)}^{-1}\frac{(1-\alpha )}{N}e\end{array}$$

5.$PageRank$算法计算实例

  利用$PageRank$算法计算下图每一个结点对应的$PR$：

  迭代过程与最后结果如下所示:

Iteration	A	B	C	D	E
1	0.2	0.087	0.087	0.1235	0.2455
2	0.2387	0.09762	0.09762	0.1391	0.2727
3	0.2618	0.1042	0.1042	0.1485	0.289
4	0.2757	0.1081	0.1081	0.154	0.2988
5	0.28396	0.11045	0.11045	0.1574	0.3046
6	0.28892	0.11186	0.11186	0.1594	0.3081
7	0.2919	0.1127	0.1127	0.1606	0.3102
8	0.29368	0.11321	0.11321	0.1613	0.3115
9	0.29475	0.11351	0.11351	0.1618	0.3122
10	0.29539	0.11369	0.11369	0.162	0.3127
11	0.29577	0.1138	0.1138	0.1622	0.3129
12	0.296	0.11387	0.11387	0.1623	0.3131
13	…	…	…	…	…
21	0.296	0.113	0.113	0.162	0.313
Final	0.296	0.113	0.113	0.162	0.313

6.算法工作源代码

6.1.绘制图网络代码

#绘制有向图
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
G = nx.DiGraph()
nodes = ["A", "B", "C", "D", "E"]
G.add_nodes_from(nodes)
edges = [("A", "B"), ("A", "C"), ("A", "D"), ("B", "D"), ("C", "E"), ("D", "E"), ("B", "E"), ("E", "A")]
G.add_edges_from(edges)
pos = nx.spring_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_size=700, node_color='skyblue', font_size=10, font_color='black',
        font_weight='bold', arrowsize=20, connectionstyle='arc3,rad=0.1')
#plt.savefig("Graph.png")#随机的图像
plt.show()

6.2.$PageRank$算法Python代码实现

from pygraph.classes.digraph import digraph
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
class PRIterator:
    """计算一张图中的PR值"""

    def __init__(self, dg):
        self.damping_factor = 0.85  # 阻尼系数,即α
        self.max_iterations = 100  # 最大迭代次数
        self.min_delta = 0.00001  # 确定迭代是否结束的参数,即ϵ
        self.graph = dg

    def page_rank(self):
        #  先将图中没有出链的节点改为对所有节点都有出链
        for node in self.graph.nodes():
            if len(self.graph.neighbors(node)) == 0:
                for node2 in self.graph.nodes():
                    dg.add_edge((node, node2))

        nodes = self.graph.nodes()
        graph_size = len(nodes)

        if graph_size == 0:
            return {}
        page_rank = dict.fromkeys(nodes, 1.0 / graph_size)  # 给每个节点赋予初始的PR值
        damping_value = (1.0 - self.damping_factor) / graph_size  # 公式中的(1−α)/N部分

        flag = False
        for i in range(self.max_iterations):
            change = 0
            for node in nodes:
                rank = 0
                for incident_page in self.graph.incidents(node):  # 遍历所有“入射”的页面
                    rank += self.damping_factor * (page_rank[incident_page] / len(self.graph.neighbors(incident_page)))
                rank += damping_value
                change += abs(page_rank[node] - rank)  # 绝对值
                page_rank[node] = rank

            print("This is NO.%s iteration" % (i + 1))
            print(page_rank)

            if change < self.min_delta:
                flag = True
                break
        if flag:
            print("finished in %s iterations!" % (i + 1))
        else:
            print("finished out of 100 iterations!")
        return page_rank
    

#%%
if __name__ == '__main__':
    dg = digraph()

    dg.add_nodes(["A", "B", "C", "D", "E"])

    dg.add_edge(("A", "B"))
    dg.add_edge(("A", "C"))
    dg.add_edge(("A", "D"))
    dg.add_edge(("B", "D"))
    dg.add_edge(("C", "E"))
    dg.add_edge(("D", "E"))
    dg.add_edge(("B", "E"))
    dg.add_edge(("E", "A"))

    pr = PRIterator(dg)
    page_ranks = pr.page_rank()

    print("The final page rank is\n", page_ranks)

7.参考资料

[1].https://zhuanlan.zhihu.com/p/137561088
[2].https://zhuanlan.zhihu.com/p/133233438
[3].https://www.mlpod.com/36.html
[4].https://www.cnblogs.com/rubinorth/p/5799848.html
[5].https://zhuanlan.zhihu.com/p/197877312
[6].https://blog.csdn.net/qq_36159768/article/details/108791236