二维旋转公式推导+旋转椭圆的公式推导
- 二维旋转公式推导
- 旋转椭圆的公式推导
二维旋转公式推导
x , y x,y x,y表示二维坐标系中原坐标点， x ′ , y ′ x',y' x′,y′表示逆时针旋转 β \beta β°之后的坐标点：
x ′ = x cos ( β ) − y sin ( β ) y ′ = y cos ( β ) + x sin ( β ) x' = x \cos(\beta) - y \sin(\beta) \\ y' = y \cos(\beta) + x \sin(\beta) x′=xcos(β)−ysin(β)y′=ycos(β)+xsin(β)
推导如下：
如上图所示，将OA逆时针旋转了beta角度到OB，A的坐标点变为B的坐标点。
计算OA的距离，如下：
O A = y sin ( α ) = x cos ( α ) OA = \frac{y}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{\cos(\alpha)} OA=sin(α)y=cos(α)x
计算OB的距离，如下：
O B = y ′ sin ( α + β ) = x ′ cos ( α + β ) OB = \frac{y'}{\sin(\alpha+\beta)} = \frac{x'}{\cos(\alpha+\beta)} OB=sin(α+β)y′=cos(α+β)x′
由于旋转不改变尺度，所有OA=OB=r，由此得：
r = y sin ( α ) = x cos ( α ) = y ′ sin ( α + β ) = x ′ cos ( α + β ) r = \frac{y}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{\cos(\alpha)}= \frac{y'}{\sin(\alpha+\beta)} = \frac{x'}{\cos(\alpha+\beta)} r
