二叉树【Java】

文章目录

  • 一、树型结构
  • 二、二叉树
    • 2.1概念
    • 2.2两种特殊的二叉树
    • 2.3二叉树的性质
    • 2.4二叉树的遍历
  • 三、二叉树的基本操作
    • 3.1获取树中节点的个数
    • 3.2获取叶子节点的个数
    • 3.3获取第K层节点的个数
    • 3.4获取二叉树的高度
    • 3.5检测值为value的元素是否存在


一、树型结构

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
1.有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点
2.除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
3.树是递归定义
在这里插入图片描述
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

在这里插入图片描述
结点的度: 一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6
树的度: 一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6
叶子结点或终端结点: 度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点: 若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点
孩子结点或子结点: 一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点
根结点: 一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A
结点的层次: 从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推
树的高度或深度: 树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为4


以下概念了解即可:
非终端结点或分支结点: 度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点: 具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点
堂兄弟结点: 双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点
结点的祖先: 从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先
子孙: 以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙
森林: 由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林

二、二叉树

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
1.或者为空
2.或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树右子树的二叉树组成
在这里插入图片描述
上图是一棵二叉树其中用蓝色框起来的是根结点的左子树,用绿色框起来的是根结点的右子树
从上图也可以看出:
1.二叉树不存在度大于2的结点
2.二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

2.2两种特殊的二叉树

1.满二叉树: 一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵
二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
2.完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n
个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
在这里插入图片描述

2.3二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有
2^i-1(i>0)个结点

2.若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
3.对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0=n2+1
4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1) 上取整
5.对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点
若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子
若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子

2.4二叉树的遍历

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结
点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如:打印节点内容、节点内容加1)

二叉树的遍历方式有前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历:
前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点
层序遍历: 设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层
上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

以下是四种遍历方式的具体实现:
对一棵空树我们不需要遍历
前序遍历:

public void preOrder(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    System.out.print(root.val+" ");
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

中序遍历:

public void inOrder(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    inOrder(root.left);
    System.out.print(root.val+" ");
    inOrder(root.right);
}    

后序遍历:

public void postOrder(TreeNode root) {
   if(root == null) {
       return;
   }
   postOrder(root.left);
   postOrder(root.right);
   System.out.print(root.val+" ");
}   

层序遍历:

void levelOrder(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList();
    queue.offer(root);
    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode cur = queue.poll();
        System.out.print(cur.val+" ");
        if(cur.left != null) {
            queue.offer(cur.left);
        }
        if(cur.right != null) {
            queue.offer(cur.right);
        }
    }
}    

测试:
在这里插入图片描述
以上的测试结果就是对下图的遍历
在这里插入图片描述

三、二叉树的基本操作

3.1获取树中节点的个数

在获取树中节点的个数中,我们可以使用遍历的方式做,也可以使用子问题的方式做
遍历的方式:

public static int nodeSize;
void size(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return;
    }
    nodeSize++;
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}    

子问题的方式:
树中的节点个数=左子树的节点个数+右子树的节点个数+根节点

int size2(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    int tmp = size2(root.left) + size2(root.right)+1;
    return tmp;
}    

3.2获取叶子节点的个数

叶子节点个数=左子树的叶子节点个数+右子树的节点个数

int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    if(root.left == null&&root.right == null) {
        return 1;
    }
    return getLeafNodeCount(root.left) +
                getLeafNodeCount(root.right);
}    

3.3获取第K层节点的个数

第K层的节点个数=左子树的第K-1层节点个数+右子树的第K-1层节点个数

int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    if(k == 1) {
        return 1;
    }
    return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +
                getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}    

3.4获取二叉树的高度

二叉树的高度=左子树的高度和右子树的高度的最大值+1

int getHeight(TreeNode root) {
    if(root == null) {
        return 0;
    }
    int leftHeight = getHeight(root.left);
    int rightHeight = getHeight(root.right);
    return Math.max(leftHeight,rightHeight)+1;
}    

3.5检测值为value的元素是否存在

这里我们先判断根节点是不是我们要找的值,再从左子树和右子树当中去找

TreeNode find(TreeNode root, char val) {
    if(root == null) {
        return null;
    }
    if(root.val == val) {
        return root;
    }
    TreeNode leftval = find(root.left,val);
    if(leftval != null) {
        return leftval;
    }
    TreeNode rightval = find(root.right,val);
    if(rightval != null) {
        return rightval;
    }
    return null;
}    

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