一、概述

回溯法在包含的所有可能解的解空间树中，从根节点出发，按照深度有限的策略进行搜索，对于解空间树的某个结点，如果该节点满足问题的约束条件，则进入该子树继续进行搜索，否则将以该节点为根节点进行剪枝。回溯法常常可以避免搜索所有可能的解，所以适合求解组合数较大的问题

1.1 问题的解空间树

复杂问题常常有很多可能解，这些可能解构成了问题的解空间，并且可能解表示方式隐含了解空间及其大小。用回溯法求解一个具有n个输入的问题，将问题的可能解表示为满足某个约束条件的等长向量，比如0-1背包问题中有n个可装入的物品，那么解向量{x1,x2,…xn}中的第i个为1表示将第i个物品装入背包中，那么他可以构成一颗这样的解空间树

例如n=3的0-1背包问题，其解空间树就如上图，其中树中的第i层和第i+1层节点之间的边上给出了对物品i的选择结构，左子树表示将物品i装入背包，右子树表示不将物品i装入背包。而树的叶子结点到根节点的路径就构成了一种可能解，比如从节点J进行回溯的可行解是{1, 0, 1}

1.2 回溯法的设计思想

回溯法从解空间的根节点出发，按照深度优先搜索搜索满足约束条件的解。在搜索到树中某个节点的时候，先判断该节点对应的不分解是否满足约束条件，也就是判断该节点是否包含问题的最优解，如果不包含则跳过以该节点为根的子树，也就是进行剪枝，免去多余的搜索；如果包含最优解则继续使用深度优先搜索进行搜索。

回溯法实际上属于蛮力穷举法，当然不能指望他有很好的最坏时间复杂度，然而回溯法具有很好的平均性能。回溯法的有效性往往是在问题规模n很大的时候，在搜索过程中对解空间树进行大量的剪枝。

二、图问题中的回溯法

2.1 图着色问题

问题：
给定无向连通图G=(V,E)，图着色问题要求使用k种颜色对图G中的顶点进行着色，需要使任意两个相邻的顶点颜色不同，求k的最小值是多少。

思想：
回溯法求解图着色问题基于深度优先搜索，首先将所有顶点的颜色初始化为0，然后依次为每个顶点着色，由于每个顶点都可以被染成n种颜色，那么其解空间树为一个满n叉树。在图着色问题的解空间树中，第i层的结点的第j棵子树代表着将第i个顶点染成第j种颜色，假设我们已经遍历到了某个结点Di了，那么根节点到当前节点的路径代表一个部分解，当前节点的n棵子树代表着当前节点的可以被染成n种颜色。在对某个顶点进行染色的时候，我们会先遍历第一棵子树，代表着尝试将该顶点染色成颜色1，并且检查该染色方案是否会冲突：一旦不冲突则会继续向下进行深度优先搜索遍历；若是冲突则证明该方案不可行，进行剪枝，并且试图遍历第二棵、第三棵子树，只要找到可行的子树就会继续向下遍历。如果n个子树都冲突，那么证明当前节点无可行的染色方案，当前部分解无解，则需要上一个节点进行”让步“，解空间树会回溯到上一个顶点， 让上一个顶点深度优先遍历剩下的子树，更改上一个顶点的颜色后再来尝试本顶点的可行解。

分析：
用m种颜色对一个具有n个顶点的无向图进行着色，那么总共有mⁿ种着色组合，因此，解空间树为一棵完全m叉树。因此最坏情况下的时间性能是O(mⁿ)，而平均时间复杂度则较为复杂

2.2 哈密顿回路

问题：
旅行家需要周游n个城市，从某一个城市出发，仅经过每一个城市一次后回到起始城市。这个路径被称为哈密顿回路，求解可行的哈密顿回路

思想：
假设图G的顶点集合为V={1,2,3…n}，则哈密顿回路的可能解可以表示为一个n元组{x1,x2,…xn}，元组的第i个元素表示的是第i个经过的城市是xi，那么元组就是哈密顿回路经过城市的顺序，每次选择下一个旅行的城市有n种选择，因此解空间树是一棵满n叉树。回溯法求解哈密顿回路，首先把所有的顶点访问标志初始化为0。首先我们会从解空间树的根节点开始向下深度优先遍历，首先我们需要选取起始城市，由于所有城市都没有去过所以有n种选择，根据深度优先首先选择第1个城市，然后和第一个城市直接相连的若干个城市则是该节点的子节点，代表着若干个可行解，接着我们继续深度优先遍历：首先遍历第一个子节点，如果第一个子节点代表的城市没有被访问，那么可以进入该子节点表示对该子节点的城市进行访问，然后继续向下深搜；如果第一个节点代表的城市被访问了，则开始查看第二个节点直到找到未被访问的子节点。若发现和该城市相邻的结点都被访问过了，而且仍有城市未经过，那么证明当前解已经无法向下遍历，则需要进行回溯，回溯到父节点中，让父节点选择另外一个子树继续进行遍历。

分析：
对应的解空间树中至少有n!个叶子结点，每个叶子结点都代表一个可行解。

三、组合问题的回溯法

3.1 n皇后问题

问题：
n皇后问题是著名的高斯数学家提出的问题，问题是在nxn的棋盘上摆放n个皇后，使得任意两个皇后不能位于同一行、同一列和同一条斜线上。

想法：
显然，棋盘的每一行必须摆放一个皇后，不然棋盘是不够用的，那么n皇后问题可以用一个n元向量(x1,x2…xn)表示，也就是第i个皇后摆放在第i行第xi列上，由于两个皇后不能位于同一列，所以n元向量中的数字都是不会重复的，也就是$x_i\ne x_j$。我们知道了两个皇后的坐标后，可以求出她们之间的斜率，如果她们之间的斜率为1或者-1的时候，就意味着两个皇后是位于同一条斜线上的，此时条件不满足。

那么我们可以求出该问题的解空间树：每一行的皇后都有n种解法，则解空间树是一颗每个非叶子节点都有n个子节点的完全n叉树。其中某个结点一种部分解，第i层上的结点的第j条边代表将第i个行的皇后放在第j列上。接着我们按照深度优先搜索的次序搜索该解空间树，当到达某个结点Ni时，我们先选择该节点的第一棵子树，也就是将第i行的皇后放在第1列上，并且检查该皇后是否和其他皇后冲突：若不冲突则继续向下深度搜索，若冲突则检查其余子树，直到找到不冲突的子树为止。如果检查发现所有子树都冲突，也就是第i个皇后摆在任何位置都冲突，则该结点的子树中不存在可行解，需要向上回溯，回溯到上一个节点，则上一个节点继续按照深搜的步骤检查下一个子树。每次到达树的叶节点都是一个可行解，然后执行回溯查看其他节点是否有可行解。

3.2 批处理作业调度问题

问题：
m个作业要在两台机器上处理，每个作业必须由机器1处理，然后再交由机器2处理，机器1处理作业i所需要的时间为ai，机器2处理作业i所需要的时间为bi，批处理作业调度问题要求确定这n个作业的最优处理次序，使得时间最短

想法：
批处理调度中，第1层有n个分支，因为有n个未处理的作业可供选择；第二层则是n-1个分支，因为第一层已经处理掉一个了，以此类推，直到第n-1层，该层节点则只剩下一个分支了。其中某个结点的每一个子节点都代表着剩余未处理的作业中的一个。首先本算法需要一个变量time表示目前已知的最早完成的方案所需要耗费的时间，初值为int的最大值，然后对解空间树进行深度优先遍历，当遍历到节点i时，代表着从根节点到当前节点i的路径上的结点所代表的作业都得到了处理，那么每遍历一个节点都要检查：当前所消耗的时间是否已经超过了time，如果超过，则证明当前部分解的时间消耗比已找到的最优方案还要长，其剩下的解中不可能存在最优解，进行剪枝并且向上回溯。如果没有收到则继续向下进行深度优先遍历，这样，每次到达叶节点都标志着有更有的解出现，则更新time变量。当遍历整个解空间树后，就可以得到最短时间，而从最优方案的叶子结点开始进行回溯，则可以得到最优方案的作业调度的序列。