基于LunarLander登陆器的TRPO强化学习（含PYTHON工程）
TRPO强化学习算法主要分为3个部分，分别介绍其理论、细节、实现
本文主要介绍TRPO的理论和代码的对应、实践
TRPO系列（TRPO是真的复杂，全部理解花费了我半个月的时间嘞，希望也能帮助大家理解一下）：
11.1、信赖域策略优化算法TRPO强化学习-从理论到实践
11.2、信赖域策略优化算法TRPO强化学习-约束优化求解
11.3、信赖域策略优化算法TRPO强化学习-运用实践
其他算法：
07、基于LunarLander登陆器的DQN强化学习案例（含PYTHON工程）
08、基于LunarLander登陆器的DDQN强化学习（含PYTHON工程）
09、基于LunarLander登陆器的Dueling DQN强化学习（含PYTHON工程）
10、基于LunarLander登陆器的Dueling DDQN强化学习（含PYTHON工程）
11、基于LunarLander登陆器的A2C强化学习（含PYTHON工程）
参考：
【TRPO系列讲解】（五）TRPO_理论推导篇
目录
- 基于LunarLander登陆器的TRPO强化学习（含PYTHON工程）
- 1、替代优势函数的计算
- 2、替代优势函数导数的计算
- 3、海森向量积的计算
- 4、共轭梯度法求解 H − 1 g {{H^{ - 1}}g} H−1g
- 5、计算策略网络的更新步长
- 6、更新步长回溯衰减
- 7、基于LunarLander登陆器的TRPO强化学习（含PYTHON工程）
1、替代优势函数的计算
信赖域策略优化算法TRPO强化学习-从理论到实践中介绍了TRPO的核心函数：替代优势函数。
要优化的式子是：
max
θ
L
θ
o
l
d
(
θ
)
=
max
θ
E
s
∼
ρ
θ
o
l
d
,
a
∼
θ
o
l
d
[
π
θ
(
a
∣
s
)
π
θ
o
l
d
(
a
∣
s
)
A
θ
o
l
d
(
s
,
a
)
]
s
u
b
j
e
c
t
t
o
E
s
∼
ρ
θ
o
l
d
[
D
K
L
(
π
θ
o
l
d
(
⋅
∣
s
)
∥
π
θ
(
⋅
∣
s
)
)
]
≤
δ
\begin{array}{l} {\max _\theta }{L_{{\theta _{old}}}}(\theta ) ={\max _\theta }E{_{s\sim{\rho _{{\theta _{old}}}},a\sim\theta_{old} }}\left[ {\frac{{{\pi _\theta }(a\mid s)}}{{{\pi _{{\theta _{old}}}}(a\mid s)}}{A_{{\theta _{old}}(s,a)}}} \right]\\ subject\;to\quad {E_{s\sim{\rho _{{\theta _{old}}}}}}\left[ {{D_{KL}}({\pi _{{\theta _{old}}}}( \cdot \mid s)\parallel {\pi _\theta }( \cdot \mid s))} \right] \le \delta \end{array}
maxθLθold(θ)=maxθEs∼ρθold,a∼θold[πθold(a∣s)πθ(a∣s)Aθold(s,a)]subjecttoEs∼ρθold[DKL(πθold(⋅∣s)∥πθ(⋅∣s))]≤δ
替代优势函数
L
θ
o
l
d
(
θ
)
{L_{{\theta _{old}}}}(\theta )
Lθold(θ)的表达式为：
L
θ
o
l
d
(
θ
)
=
E
s
∼
ρ
θ
o
l
d
,
a
∼
θ
o
l
d
[
π
θ
(
a
∣
s
)
π
θ
o
l
d
(
a
∣
s
)
A
θ
o
l
d
(
s
,
a
)
]
{L_{{\theta _{old}}}}(\theta ) =E{_{s\sim{\rho _{{\theta _{old}}}},a\sim\theta_{old} }}\left[ {\frac{{{\pi _\theta }(a\mid s)}}{{{\pi _{{\theta _{old}}}}(a\mid s)}}{A_{{\theta _{old}}(s,a)}}} \right]
Lθold(θ)=Es∼ρθold,a∼θold[πθold(a∣s)πθ(a∣s)Aθold(s,a)]
其中：
A
π
(
s
,
a
)
=
Q
π
(
s
,
a
)
−
V
π
(
s
)
A_\pi(s,a)=Q_\pi(s,a)-V_\pi(s)
Aπ(s,a)=Qπ(s,a)−Vπ(s)
对应核心代码（考虑到熵实际上是额外的改进了）：
# 计算新旧动作概率之比，即当前策略与旧策略在给定状态下的动作选择概率之比
prob_ratio = action_prob / old_action_prob # pi(a|s) / pi_old(a|s)
# 计算替代损失。这个损失主要由两部分组成：1) 基于新旧策略的动作概率之比的收益；2) entropy正则化项，由self.ent_coeff控制权重。
loss = tf.reduce_mean(prob_ratio * advantage) + self.ent_coeff * entropy
状态价值函数V可以通过批评者网络得到，但是Q函数在TRPO中属于未知的，在此使用 U t U_t Ut近似，其原因如下：
Q(s,a)和Ut关系：Q(s,a)是Ut的期望，期望可以理解为求积分，实际上Q是对Ut把所有t之后的时刻（t+1、t+2等等）当作变量求积分得到的。因此Q(s,a)可以直观反应当前状态s下执行各个动作的好坏。
Q π ( s t , a t ) = E [ U t ∣ s t , a t ] Q_\pi(s_t,{a_t})=\mathbb{E}[U_t\mid s_t,{a_t}] Qπ(st,at)=E[Ut∣st,at]
由此替代优势函数的计算的代码表达如下（代码里面叫surrogate_loss，其实是一样的）：
# 计算状态价值函数
Vs = self.value_model(obs).numpy().flatten()
# 计算优势函数,Gs就是Ut
advantage = Gs - Vs
# 直接标准化
advantage = (advantage - advantage.mean())/(advantage.std() + 1e-8)
actions_one_hot = tf.one_hot(actions, self.envs[0].action_space.n, dtype="float64")
# 计算其替代函数L的损失
policy_loss = surrogate_loss()
def surrogate_loss(theta=None):
# 如果theta为None，则使用self.model作为模型，否则使用self.tmp_model并为其赋值
if theta is None:
model = self.model
else:
model = self.tmp_model
assign_vars(self.tmp_model, theta)
# 使用模型对obs进行预测，得到logits
logits = model(obs)
# 对logits应用softmax函数，得到action的概率分布
action_prob = tf.nn.softmax(logits)
# 计算每个动作的概率之和，这里假设actions_one_hot是动作的one-hot编码
action_prob = tf.reduce_sum(actions_one_hot * action_prob, axis=1)
# 使用原始模型对obs进行预测，得到旧的logits
old_logits = self.model(obs)
# 对旧的logits应用softmax函数，得到旧的动作概率分布
old_action_prob = tf.nn.softmax(old_logits)
# 计算每个动作的旧概率之和，并加上一个小的常数以避免除以0的错误
old_action_prob = tf.reduce_sum(actions_one_hot * old_action_prob, axis=1).numpy() + 1e-8
# 计算新旧动作概率之比，即当前策略与旧策略在给定状态下的动作选择概率之比
prob_ratio = action_prob / old_action_prob # pi(a|s) / pi_old(a|s)
# 计算替代损失。这个损失主要由两部分组成：1) 基于新旧策略的动作概率之比的收益；2) entropy正则化项，由self.ent_coeff控制权重。
loss = tf.reduce_mean(prob_ratio * advantage) + self.ent_coeff * entropy
# 返回计算得到的损失值。
return loss
2、替代优势函数导数的计算
信赖域策略优化算法TRPO强化学习-约束优化求解的第2部分中，替代优势函数的导数在更新中扮演着十分重要的作用，需要进行求解：
g
T
=
∇
θ
L
θ
o
l
d
(
θ
)
∣
θ
=
θ
o
l
d
{g^T} = {\nabla _\theta }{L_{{\theta _{old}}}}(\theta ){|_{\theta = {\theta _{old}}}}
gT=∇θLθold(θ)∣θ=θold
θ
′
=
2
δ
g
T
H
−
1
g
H
−
1
g
+
θ
\theta^{\prime}=\sqrt{\frac{2\delta}{g^{T}H^{-1}g}}H^{-1}g+\theta
θ′=gTH−1g2δH−1g+θ
其对应的代码为：
# 计算替代优势函数的导数g
policy_gradient = flatgrad(surrogate_loss, self.model.trainable_variables).numpy()
其中，flatgrad是求导的函数，在代码中会多次用到：
# Makes gradient of function loss_fn wrt var_list and
# flattens it to have a 1-D vector 计算梯度，并将其扁平化
def flatgrad(loss_fn, var_list):
with tf.GradientTape() as t:
loss = loss_fn()
grads = t.gradient(loss, var_list, unconnected_gradients=tf.UnconnectedGradients.ZERO)
return tf.concat([tf.reshape(g, [-1]) for g in grads], axis=0)
3、海森向量积的计算
对于TRPO的不等式约束，我们对其使用二阶泰勒展开（证明参考自然梯度Natural Policy）：
D
K
L
ρ
o
l
d
‾
(
π
o
l
d
,
π
n
e
w
)
→
1
2
(
θ
−
θ
o
l
d
)
T
A
(
θ
o
l
d
)
(
θ
−
θ
o
l
d
)
H
=
A
(
θ
o
l
d
)
=
∇
θ
2
D
K
L
ρ
o
l
d
‾
(
π
o
l
d
,
π
n
e
w
)
\begin{aligned}\overline{D_{KL}^{\rho_{old}}}(\pi_{old},\pi_{new})\to\frac12(\theta-\theta_{old})^TA(\theta_{old})(\theta-\theta_{old})\\\\H=A(\theta_{old})=\nabla_\theta^2\overline{D_{KL}^{\rho_{old}}}(\pi_{old},\pi_{new})\end{aligned}
DKLρold(πold,πnew)→21(θ−θold)TA(θold)(θ−θold)H=A(θold)=∇θ2DKLρold(πold,πnew)
此外，我们需要使用共轭梯度法求解
H
−
1
g
{{H^{ - 1}}g}
H−1g矩阵，这等价于求解线性方程
H
x
=
g
Hx=g
Hx=g，需要频繁使用到海森矩阵H和向量x的乘积。而且，海森矩阵需要对KL散度求二阶导得到，这是一个相对复杂的过程。【TRPO系列讲解】（六）TRPO_求解实现篇的第12min介绍了一种简单的运算加速方式，就是先对KL散度求一阶导数，然后乘以向量x，然后再对相乘后的式子求导：
H
i
j
=
∂
∂
θ
j
∂
D
K
L
∂
θ
i
y
i
=
∂
∂
θ
∑
j
∂
D
K
L
∂
θ
j
x
j
y
k
=
∑
j
H
k
j
x
j
=
∑
j
∂
∂
θ
j
∂
D
K
L
∂
θ
k
x
j
=
∂
∂
θ
k
∑
j
∂
D
K
L
∂
θ
j
x
j
\begin{aligned} &H_{ij}=\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}\frac{\partial D_{KL}}{\partial\theta_{i}} \\ &y_{i}=\frac{\partial}{\partial\theta}\sum_{j}\frac{\partial D_{KL}}{\partial\theta_{j}}x_{j} \\ &y_{k}=\sum_{j}H_{kj}x_{j} =\sum_{j}\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}\frac{\partial D_{KL}}{\partial\theta_{k}}x_{j} \\ &=\frac{\partial}{\partial\theta_{k}}\sum_{j}\frac{\partial D_{KL}}{\partial\theta_{j}}x_{j} \end{aligned}
Hij=∂θj∂∂θi∂DKLyi=∂θ∂j∑∂θj∂DKLxjyk=j∑Hkjxj=j∑∂θj∂∂θk∂DKLxj=∂θk∂j∑∂θj∂DKLxj
对应代码如下：
# 计算Hessian向量积
def hessian_vector_product(p):
# 此处的p实际输入的是x
def hvp_fn():
# 使用flatgrad函数计算kl_fn损失函数关于模型可训练变量的梯度，得到一个扁平化的梯度数组kl_grad_vector
kl_grad_vector = flatgrad(kl_fn, self.model.trainable_variables)
# 计算梯度向量与给定向量p的点积，并将结果存储在grad_vector_product中
grad_vector_product = tf.reduce_sum(kl_grad_vector * p)
# 返回grad_vector_product的值
return grad_vector_product
# 使用flatgrad函数计算hvp_fn内部函数关于模型可训练变量的梯度，得到一个扁平化的梯度数组fisher_vector_product
fisher_vector_product = flatgrad(hvp_fn, self.model.trainable_variables).numpy()
# 返回fisher_vector_product的值，并加上cg_damping与向量p的乘积？
return fisher_vector_product + (self.cg_damping * p)
4、共轭梯度法求解 H − 1 g {{H^{ - 1}}g} H−1g
信赖域策略优化算法TRPO强化学习-约束优化求解的第4部分提到了，我们需要使用共轭梯度法求解 H − 1 g {{H^{ - 1}}g} H−1g矩阵，这等价于求解线性方程 H x = g Hx=g Hx=g，需要频繁使用到海森矩阵H和向量x的乘积，这实际上是残差的计算。
其中policy_gradient 是对替代优势函数的导数，也就是g。hessian_vector_product函数作为conjugate_grad函数的第一个输入Ax，之后再调用Ax§计算海森矩阵和向量p的乘积。（至始至终都没有单独计算过海森矩阵的值，都是计算的海森矩阵和向量的乘积）
对共轭梯度法不了解的参考我的另一个博客：最速下降法、梯度下降法、共轭梯度法—理论分析与实践
代码中step_direction 其实就是要计算的 H − 1 g {{H^{ - 1}}g} H−1g矩阵。
# 计算替代优势函数的导数g
policy_gradient = flatgrad(surrogate_loss, self.model.trainable_variables).numpy()
# 使用共轭梯度法
step_direction = conjugate_grad(hessian_vector_product, policy_gradient)
# 共轭梯度法
def conjugate_grad(Ax, b):
"""
Conjugate gradient algorithm
(see https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method)
"""
x = np.zeros_like(b)
r = b.copy() # Note: should be 'b - Ax(x)', but for x=0, Ax(x)=0. Change if doing warm start.
p = r.copy()
old_p = p.copy()
r_dot_old = np.dot(r,r)
for _ in range(self.cg_iters):
z = Ax(p)
alpha = r_dot_old / (np.dot(p, z) + 1e-8)
old_x = x
x += alpha * p
r -= alpha * z
r_dot_new = np.dot(r,r)
beta = r_dot_new / (r_dot_old + 1e-8)
r_dot_old = r_dot_new
if r_dot_old < self.residual_tol:
break
old_p = p.copy()
p = r + beta * p
if np.isnan(x).any():
print("x is nan")
print("z", np.isnan(z))
print("old_x", np.isnan(old_x))
print("kl_fn", np.isnan(kl_fn()))
return x
5、计算策略网络的更新步长
信赖域策略优化算法TRPO强化学习-约束优化求解的第3部分提到了，在TRPO算法中，其更新公式为：
θ
′
=
2
δ
g
T
H
−
1
g
H
−
1
g
+
θ
\theta^{\prime}=\sqrt{\frac{2\delta}{g^{T}H^{-1}g}}H^{-1}g+\theta
θ′=gTH−1g2δH−1g+θ
H − 1 g {{H^{ - 1}}g} H−1g的数值我们可以通过共轭梯度法进行求解，那我们该如何计算更新的参数呢？
# 计算替代优势函数的导数g
policy_gradient = flatgrad(surrogate_loss, self.model.trainable_variables).numpy()
# 使用共轭梯度法，step_direction 是H-1*g
step_direction = conjugate_grad(hessian_vector_product, policy_gradient)
# 中间变量，计算的是
shs = .5 * step_direction.dot(hessian_vector_product(step_direction).T)
lm = np.sqrt(shs / self.delta) + 1e-8
fullstep = step_direction / lm
根据如上的代码：
s
h
s
=
(
1
2
H
−
1
g
)
(
H
H
−
1
g
)
T
=
1
2
g
T
H
−
1
g
l
m
=
g
T
H
−
1
g
2
δ
f
u
l
l
s
t
e
p
=
H
−
1
g
g
T
H
−
1
g
2
δ
=
2
δ
g
T
H
−
1
g
H
−
1
g
\begin{array}{l} shs = \left( {\frac{1}{2}{H^{ - 1}}g} \right){\left( {H{H^{ - 1}}g} \right)^T} = \frac{1}{2}{g^T}{H^{ - 1}}g\\ lm = \sqrt {\frac{{{g^T}{H^{ - 1}}g}}{{2\delta }}} \\ fullstep = \frac{{{H^{ - 1}}g}}{{\sqrt {\frac{{{g^T}{H^{ - 1}}g}}{{2\delta }}} }} = \sqrt {\frac{{2\delta }}{{{g^T}{H^{ - 1}}g}}} {H^{ - 1}}g \end{array}
shs=(21H−1g)(HH−1g)T=21gTH−1glm=2δgTH−1gfullstep=2δgTH−1gH−1g=gTH−1g2δH−1g
和更新数据一致。
6、更新步长回溯衰减
但是，信赖域策略优化算法TRPO强化学习-约束优化求解的第5部分提到了，TRPO使用了太多的近似，理论的方程并不一定是最好的，那我们我们该如何做呢？我们可以选择小于 α \alpha α的学习率多次尝试（如 0. 9 1 α 0.9^1\alpha 0.91α、 0. 9 2 α 0.9^2\alpha 0.92α、 0. 9 3 α 0.9^3\alpha 0.93α、 0. 9 4 α 0.9^4\alpha 0.94α…），直到找到一个能够提升替代优势 L θ o l d ( θ ) {L_{{\theta _{old}}}}(\theta ) Lθold(θ)的学习率，这个过程被称为LineSearch：
# 在给定方向上找到函数的局部最小值，最优化算法
def linesearch(x, fullstep):
# fval = surrogate_loss(x)
for (_n_backtracks, stepfrac) in enumerate(self.backtrack_coeff**np.arange(self.backtrack_iters)):
xnew = x + stepfrac * fullstep
newfval = surrogate_loss(xnew)
kl_div = kl_fn(xnew)
if np.isnan(kl_div):
print("kl is nan")
print("xnew", np.isnan(xnew))
print("x", np.isnan(x))
print("stepfrac", np.isnan(stepfrac))
print("fullstep", np.isnan(fullstep))
if kl_div <= self.delta and newfval >= 0:
print("Linesearch worked at ", _n_backtracks)
return xnew
if _n_backtracks == self.backtrack_iters - 1:
print("Linesearch failed.", kl_div, newfval)
return x
7、基于LunarLander登陆器的TRPO强化学习（含PYTHON工程）
基于TensorFlow 2.10
主要代码来自github上的一位小哥，但是原来的效果太差了：
我稍微修改优化了一下，下面的两张图第一个是每次运行的得分，第二张为均值平滑后的曲线，因为使用了wandb，实际上运行了大约300个episode，作者原来的因该是运行500个episode的结果嘞（LR是价值网络的学习率，因为使用了自然梯度法，策略网络的学习率无需手动设置）。优化后基本能跑个200多分，算是还可以吧。
工程可以从最上方链接下载，喜欢就点个赞吧。
