详解矩阵的正交化（附例题分析）

一. 矩阵Gram-Schmidt正交化的好处

二. 矩阵标准正交化过程

三. 例题

3.1 标准正交化

3.2 算法小结

3.3 优化分析

四. 小结

矩阵有两类等价关系

矩阵对角化

特殊矩阵

一. 矩阵Gram-Schmidt正交化的好处

假如有三个线性独立的向量a,b,c，他们是标准正交的（orthonormal），也就是长度均为1且两两相互正交。

如果任意给一个向量v，计算v投影到a上的向量为：

$(a^Tv)a$

其中 $a^Tv$ 计算结果为标量，代表向量v投影到单位向量a上的长度

向量a和b可以形成一个平面，向量v投影到该平面的向量可以直接计算为：

$(a^Tv)a+(b^Tv)b$

同理，如果想要计算投影到空间a,b,c上时，则计算为：

$(a^Tv)a+(b^Tv)b+(c^Tv)c$

可以发现在标准正交向量上的投影计算非常简单，只有简单的内积过程，也就是：

$a^Tv,b^Tv,c^Tv$

那么如何把任意的矩阵转化为标准正交的矩阵呢？

二. 矩阵标准正交化过程

已知给出三个线性独立向量a,b,c。接下来我们将介绍如何将其转为标准正交向量q1,q2,q3.

先固定向量a的方向，使其与q1一样，接着将其长度变为1，如下：

$q_1=\frac{a}{||a||}$

由此q1即为单位向量。

将向量b分成两部分。一个是和q1同方向的向量，一个是和q2垂直方向的向量。我们只需要去掉和q1同方向的向量即可，如下：

很明显向量B和q1是互相垂直的，接着把长度转化为1，即为向量q2.来看一个直观的图：

确定好q1和q2后，接下来便可以使用同样的手段处理向量c了。因为a,b,c线性独立，所以向量c不一定在q1和q2形成的平面上。我们就可以把向量c分成两个三个分量：垂直q1和q2平面的分量，和q1同方向的分量，和q2同方向的分量。由此便可以一个新的垂直分量如下：

以上即为整个标准的Gram-Schmidt正交化过程，每次迭代均减去已确定方向的分量，形式化的表达如下：

subtract from every new vector its components in the directions that are already settled

在以上例子中，如果出现第四个向量d，则减去和q1,q2,q3同方向的分量。

三. 例题

3.1 标准正交化

给定三个向量a,b,c，如下：

将向量a转为单位向量即可形成q1，如下：

$q1=a/\sqrt 2$

将第二个向量沿着q1方向的分量减去，即可得到B，如下：

将向量B进行标准化，也就是除以其长度，可得单位向量，如下：

去掉向量c沿着q1和q2的方向向量，可得：

观察发现向量C已经是单位向量，所以q3=C.

将以上标准正交向量q1,q2,q3作为列向量，即可构成正交矩阵Q，如下：

3.2 算法小结

Gram-Schmidt算法的输入是线性独立向量 $a_1,\cdots,a_n$ ，算法的输出为标准正交的向量 $q_1,\cdots,q_n$ 。算法的本质就是迭代过程，当迭代到第j步时，就是用向量 $a_j$ 减去沿着 $q_1,\cdots,q_{j-1}$ 的方向向量，标准公式如下：

接着单位向量 $q_j$ 即可计算为：

$A_j/||A_j||$

3.3 优化分析

通过以上例题，我们发现Gram-Schmidt算法经常需要开平方，这给实际运算带来很多不便。比如刚才那个例题中，如果只是保留a,B,C的话，这些向量是垂直的，只是长度不一定为1，这样的话计算起来会方便很多。或者，只是到最后一步才进行开方运算。

将向量b投影到向量a上的分向量为：

$\frac{a^b}{a^Ta}a$

由此可计算为：

同样的方法可计算C为：

四. 小结

法国哲学家、数学家勒内⦁笛卡尔(Rene Descartes)于1637年创立了笛卡尔坐标系，实现了几何问题代数化，为微积分的建立奠定了基础。 $R^2$ 和 $R^3$ 笛卡尔坐标向量的代数运算可进一步拓展到 $R^n$ 欧氏空间，进而拓展到抽象的向量空间的代数运算，这些极大地扩展了数学研究范围。

矩阵有两类等价关系

矩阵相似：

设 $A,B\in R^{n\times n}$ ，若存在非奇异矩阵 $X\in R^{n\times n}$ ，使得：

$A=XBX^{-1}$

则称A与B相似。

矩阵合同：

设 $A,B\in R^{n\times n}$ 都是对称矩阵，若存在非奇异矩阵 $X\in R^{n\times n}$ ，使得：

$A=XBX^{T}$

则称A与B合同。

矩阵对角化

若存在非奇异矩阵 $X\in R^{n\times n}$ ，使得：

则称A是可对角化的。若A可对角化，则称上式子为A的特征值分解或谱分解。矩阵A对角化的性质：

A可对角化的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量；
A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数和几何重数相等；
若A的特征值互不相同，则A可对角化

若方阵A是对称矩阵，则A可对角化。

特殊矩阵

特殊矩阵包括：

单位矩阵，数量矩阵（对角线上元素都是同一个数值），对角矩阵，三对角矩阵（对角线、邻近对角线的上下次对角线上有元素，其他位置均为0的矩阵），上 (下) 三角矩阵，上 Hessenberg 矩阵（当行大于列+1时元素为0），下Hessenberg 矩阵（当列大于行+1时元素为0），带状矩阵（当所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域时）

置换 (排列) 矩阵，对称矩阵 (Hermitian 矩阵)，反向单位矩阵，反向对称矩阵，斜对称矩阵

Vandermonde 矩阵，Toeplitz 矩阵，循环矩阵，Hankel 矩阵

正定矩阵，半正定矩阵，对角占优矩阵，不可约矩阵

正交矩阵 (酉矩阵)，对合矩阵，幂等矩阵 (也称投影矩阵)，幂零矩阵

分块矩阵 (块对角, 块三角, ...)

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