121.买卖股票的最佳时机
初始思路：
暴力解法，两个for循环。
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int res = Integer.MIN_VALUE;
for(int i = 0;i<prices.length;i++){
for(int j = i+1;j<prices.length;j++){
res = Math.max(res,prices[j]-prices[i]);
}
}
return res<0?0:res;
}
}会超出时间限制。
题解复盘：
好吧想不出来dp数组该怎么定义。
动态规划五部曲：
1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：
dp[i][0]表示第i天持有股票所得最多现金
dp[i][1]表示第i天不持有股票所得最多现金
2）确定递推公式：
如果第i天持有股票即dp[i][0]，可以是第i天买了股票也可以是第i天没买但第i-天就持有股票。
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i][1]，可能是我第i天卖出了，也可能是我第i-1天就不持有。
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
3）初始化：
dp[0][0] -= prices[0];
dp[0][1] = 0;
4）遍历顺序：
从前往后
5）举例推导
以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：
dp[5][1]就是最终结果。
为什么不是dp[5][0]呢？
因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][]dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for(int i = 1;i<prices.length;i++){
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],-prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0]+prices[i],dp[i-1][1]);
}
return dp[prices.length-1][1];
}
}这里我纳闷了一下为什么 dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],-prices[i]);而不是
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
主要是因为本题只可以买一次，所以第一次购入的时候的现金一定是- prices[i]， dp[i - 1][1] - prices[i]也就涉及了多次买卖。
122.买卖股票的最佳时机II
由上面的结果修改一下直接得到第二道题目的答案。
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][] dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
System.out.println(dp[i][0]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
System.out.println(dp[i][1]);
}
return dp[prices.length - 1][1];
}
}123.买卖股票的最佳时机III
相比于上一题不限制次数的交易，本题的重点在于我最多只能交易两次。
初始思路&&题解复盘
- 确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
- 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
- 第一次持有股票
- 第一次不持有股票
- 第二次持有股票
- 第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
2.确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？
一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
3.dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][] dp = new int[prices.length][5];
int res = Integer.MIN_VALUE;
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][3] = -prices[0];
for(int i = 1;i<prices.length;i++){
dp[i][0] = dp[i-1][0];
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0]-prices[i],dp[i-1][1]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][1]+prices[i],dp[i-1][2]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][2]-prices[i],dp[i-1][3]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][3]+prices[i],dp[i-1][4]);
}
for(int i = 0;i<5;i++){
res = Math.max(res, dp[prices.length-1][i]);
}
return res;
}
}
第一次解答的时候第2次买入的时候初始化为0导致计算错误，接下来书写的时候需要注意，只要买入就是-prices[0];
188.买卖股票的最佳时机IV
初始思路&&题解复盘：
在上一题目的基础之上，总结了规律的感觉。
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
//买卖k次的话是2k+1种情况；
int[][] dp = new int[prices.length][2*k+1];
for(int i = 1;i<2*k+1;i = i+2){
dp[0][i] = -prices[0];
}
for(int i = 1;i<prices.length;i++){
for(int j= 1;j<2*k+1;j++){
if(j%2!=0){
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-1]-prices[i],dp[i-1][j]);
}else{
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-1]+prices[i],dp[i-1][j]);
}
}
}
return dp[prices.length-1][2*k];
}
}class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices.length == 0) return 0;
// [天数][股票状态]
// 股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作
int len = prices.length;
int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];
// dp数组的初始化, 与版本一同理
for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
dp[0][i] = -prices[0];
}
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[len - 1][k*2];
}
}题解计算量更小
309.买卖股票的最佳时机含冷冻期
初始思路：
由上面的题目可以发现这部分重点依旧在于分析状态，从而得到dp数组的定义和递推公式
在此我认为拥有三种状态，
当前未拥有股票，但不是当天卖出的，下一阶段可在此状态下购入；
当前未拥有股票，但是是当天卖出的，下一阶段不可在该状态下购入。
当前拥有股票，可能是上一阶段购入的，也可能是在第一状态下购入的。
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if(prices.length==1){return 0;}
int[][] dp = new int[prices.length][3];
dp[0][1] = -prices[0];
for(int i = 1;i<prices.length;i++){
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
dp[i][2] = dp[i-1][1]+prices[i];
}
return Math.max(dp[prices.length-1][0],dp[prices.length-1][2]);
}
}题解复盘：
分为了四个状态，更加清晰：
具体可以区分出如下四个状态：
- 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
- 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
- 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
- 状态三：今天卖出股票
- 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
j的状态为：
- 0：状态一
- 1：状态二
- 2：状态三
- 3：状态四
注意这里的每一个状态，例如状态一，是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票，而是说保持买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。
- 确定递推公式
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
- 操作二：今天买入了，有两种情况
- 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
- 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]
那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);
达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是状态二
- 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：
昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出
即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：
昨天卖出了股票（状态三）
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
综上分析，递推代码如下：
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];714.买卖股票的最佳时机含手续费
初始思路：
由上面的题目可以发现这部分重点依旧在于分析状态，从而得到dp数组的定义和递推公式。但其实就是在122的基础上增加了手续费。
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
int[][] dp = new int[prices.length][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i]-fee, dp[i - 1][1]);
}
return dp[prices.length - 1][1];
}
}
![P1067 [NOIP2009 普及组] 多项式输出————C++](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/8986bdce9f9746ffa9b500205f0e89b0.png)
