主题建模（Topic Modeling）是一种统计模型，用于在一组文档中发现抽象的"主题"。主题可以看作是一种潜在的变量，能够捕获文档中的主要讨论点。

比如，你有一堆新闻文章，通过主题建模，可能可以发现一些主题，如"国际政治"，“经济”，“体育”，“娱乐"等。每个主题都由一组与之相关的关键词定义。例如，“体育”主题可能包括"篮球”，“足球”，"奥运会"等词语。

最常见的主题建模方法是潜在Dirichlet分配（LDA），它假设每个文档都是从多个主题的混合体中生成的，而每个主题则是从一组特定的词语分布中生成的。

主题建模在文本挖掘、自然语言处理和信息检索等领域有广泛的应用，可以用来探索大规模文本集合的隐藏结构，帮助我们更好地理解和解释文本数据。

A Brief History of Topic Models

Latent Dirichlet Allocation （LDA）潜在狄利克雷分布

• 一种用于主题模型的生成概率模型，通过对文档中的词汇进行概率分布分析，从而发现文档中的潜在主题。
  

核心思想

Latent Dirichlet Allocation（LDA）是一种主题模型，它允许观察到的一组文档可以被解释为潜在主题的集合。 这是一种无监督的生成模型，使我们能够确定由哪些主题生成了一篇特定的文档，并能确定每个主题的词分布。

LDA的基本思想是：

• 每一篇文档都可以被看作是一系列主题的混合，而每一个主题又可以被看作是一系列词的混合。 例如，如果我们有一个关于体育的文档，那么可能的主题包括"篮球"、“足球”、“棒球"等，每个主题都有各自的词汇，如"投篮”、“射门”、"跑垒"等。

• LDA算法通过反复迭代来学习 主题-词分布 和 文档-主题 分布，最终可以为每个文档提供一个主题分布（告诉我们这篇文档关于哪些主题），并为每个主题提供一个词分布（告诉我们每个主题包含哪些关键词）。

LDA广泛用于自然语言处理、信息检索和机器学习等领域，用于文档分类、情感分析、推荐系统等任务。

LDA input

LDA output

LDA 如何学习

Sampling-based mothods 基于采样的方法

• 蓝色的表格用于统计 topic-word 共同出现的情况
• 绿色的表格用于统计 document-topic 共同出现的情况
• 蓝色的表格中的数据一开始都被初始化为 0.01，绿色的则都是 0.1
• 这些初始化的数据被称为 prior 先验
• 之所以以这样的方式初始化，是因为我们为了 smooth 结果，避免在计算的过程中出现 0
• 看蓝色表格左上角的 mouse-t1 为 1.01 其实 1.01 = 1 + 0.01，除了初始值之外，因为在橙色的表格中， mouse 和 t1 共同出现了 1 次，所以这里得到了 1.01
• 同样的 moust-t3=2.01
• 其他的表格单元也都如法炮制
• 填完了蓝色和绿色的表格之后，进行下一步
• 那就是遍历所有的 word token 然后 sample 一个新的 topic，这个步骤是根据这两个表格来决定的：
  
• 其中 $P(t_i|w)$ 是从蓝色表格计算出来的，$P(t_i|d)$ 是根据绿色表格计算出来的
• 需要注意的是：需要在采样前取消当前主题分配并更新共现矩阵

在Gibbs采样中，为什么在采样前要取消当前的主题分配并更新共现矩阵呢？这是因为我们正在尝试从一个条件分布中抽取样本，即在给定其他所有单词的主题分配情况下，当前单词的主题分配。

• 当我们尝试更新一个特定单词的主题时，我们先要**“去除”或取消这个单词当前的主题分配**，这样才能确保这个单词的新主题分配不会被它自己当前的分配影响。只有在这个单词“看不见”自己当前的主题分配的情况下，我们才能得到一个公正的抽样。
• 同时，取消当前的主题分配也意味着我们需要更新主题-词（topic-word）和文档-主题（document-topic）的共现矩阵，因为这个单词的主题分配已经改变，所以之前基于旧的主题分配得到的共现矩阵已经不再准确。一旦我们有了更新后的共现矩阵，我们就可以基于当前其他所有单词的主题分配，从该单词的主题的条件分布中抽取新的主题标签。
• 总的来说，这个过程确保了我们在给定其他所有变量的情况下，公正地从一个变量的条件分布中抽取样本，这是Gibbs采样的基本要求。
  

• 根据上面的条件，我们现在对 mouse 单词重新分配主题的时候，需要将原本属于的主题进行 de-allocate 所以在 mouse-t1 这个单元中要 -1，同样的，在 t1-doc 的矩阵中的对应位置也需要把这个值 -1（就相当于橙色的表格中这个 mouse 的 topic=? 所以不能将 mouse 所在的 t1 再作为绿色表格的有效数据统计进去了）
  
• 接下来就是将 $P(t_i|w)P(t_i|d)$ 计算出来即可，例如 $P(t_1|mouse,d_1)=P(t_1|mouse)P(t_1|d_1)$，我们根据这个公式可以计算出来 mouse 与 $t_1,t_2,t_3$ 哪种 topic 更加契合，然后将 mouse 分配给这种 topic
• 重复上面的步骤，不断更新表格直到收敛
• 再举个例子：计算 $P(t_3|mouse,d_1)$
  $$P(t_3|mouse,d_1)=P(t_3|mouse)P(t_3|d_1)$$
• 原本以为应该按照下面的方式将这个 t3-mouse 也减去 1，但是事实上这样是不对的
  
• 因为我们现在正在对 t1-mouse 进行 reassign，所以我们只需要在 t1-mouse 相关的蓝色和 绿色格子中减去即可，至于 t3-mouse 我们正常计算即可，所以计算如下：
  
  

Infer Topics For New Documents

• 在推理阶段，我们固定蓝色表格，只是更新绿色表格
  

超参数

Variational methods 变分方法

Evaluation

主题模型（例如LDA）的评估是一项重要的任务，主要有两种评估方法：内在评价（Intrinsic Evaluation）和外在评价（Extrinsic Evaluation）。

内在评价：内在评价主要通过计算模型的困惑度（Perplexity）、主题一致性（Topic Coherence）等指标来评价模型的性能。

• 困惑度 Perplexity：困惑度是评估主题模型质量的一种常见指标。困惑度越低，模型的性能越好。困惑度基本上度量了模型对未见过的新数据的预测能力，即模型的泛化能力。

• 主题一致性 Topic Coherence：主题一致性是另一种常用的评价指标，它度量的是一个主题内部的词语是否在语义上相互关联。主题一致性越高，说明主题模型捕捉到的主题越有意义。

外在评价：外在评价主要是看主题模型在一些下游任务上的性能，例如文档分类、文档聚类、信息检索等。 比如，我们可以使用主题模型对文档进行特征提取，然后在这些特征上训练一个分类器或者聚类算法，通过观察分类器或者聚类算法的性能来评估主题模型的质量。