【模拟IC学习笔记】Cascode OTA 设计

辅助定理

增益=Gm*输出阻抗

输出短路求Gm

输入置0求输出阻抗

求源极负反馈的增益

$G_{m}=\frac{I_{D}}{V_{in}}=\frac{g_{m}}{1+g_{m}R_{s}}$

随着Vin的增加，Id也在增加，Rs上压降增加，所以，Vin的一部分电压体现在Rs上，而不是全部作为Vgs，因此导致Id变得平滑。

Rs足够大的时候，Gm=1/Rs，跨导Gm线性化，Gm的线性度是以牺牲增益为代价的。用增益换线性度。

$R_{out}=R_{s}+r_{o}+g_{m}R_{s}r_{o}$

源极负反馈的一个主要作用时增加共源极的输出阻抗，将Rs换成一个MOS管，就是我们常见的Cascode结构。总输出阻抗是上式并联RD。

当RD远远小于Rout时，增益≈RD/RS。当RD远远大于Rout时，增益≈gmro，为MOS管本征增益。相当于源极负反馈对输出电阻的增强刚好抵消其对跨导的衰减。

Cascode OTA

DC分析

用辅助定理求增益。

AC分析

考虑电容，主极点在输出极点。CL越大，主极点越低，因此GBW越小，稳定性越好。次级点在X点。

问题：为什么Y点没有引入次级点，M1和M2构成信号通路，M3恒润M4构成负载通路，负载通路的极点对频率特性无影响吗？Cy可以无穷大？

求Gm

输出阻抗

考虑下半部分，首先忽略CL1，求出阻抗之后，再与CL1并联。

上述结果与CL1并联得到下图结果，p1b是主极点，p2b是次级点。

求OTA上半部分输出阻抗。

把上下两部分合并，阻抗合并后主极点也将合并，CL1和CL2合并。

增益

p1=zb，所以可以简化。Y点引入的零极点对近似相等，某种意义上可以抵消。

速度

饱和区，偏置电流一定的情况下，增益正比于WL，为了增大增益，需要增加MOS面积。

次级点表达式如下。

次级点p1越大，稳定性越好，为了增大次级点，所以需要减小M2的L。

噪声

M2不贡献噪声，所以只需要从增益和稳定性的角度去设计M2的尺寸。从噪声的角度考虑，R3的gm3要做小，gm1要做大。因为M3是负载管，M1是输入管。所以M3的宽长比要做小，M1的宽长比要做大。

综上所示，M1宽长比要大，gm要大(增益、噪声)；M2的L要小，gm要大（带宽稳定性、输出阻抗）；M4同M2；M3的宽长比要小，gm要小(噪声)。

距离较近的零极点对

具体公式推导可参考：Kamath B, Meyer R G, Gray P R. Relationship between frequency response and settling time of operational amplifiers[J]. IEEE Journal of Solid-State Circuits, 1974, 9(6): 347-352.

频域特性

设置低频增益为1e3，主极点为1e3，零极点对在20e3左右、零点是20e3，极点是k*20e3。k的大小显示了零极点对的相对位置，查看k从0.8变化到1.2时的频率响应。

%%pole-zero doublet frequency responseclear;clc;
p1 = 1e3;
A0 = 1e3;
w_doublet = 20e3;
figure(1);
hold on;
for k = 0.8:0.1:1.2
  z2 = w_doublet;
  p2 = w_doublet*k;
  num = A0.*[1/z2,1];
  den = conv([1/p1,1],[1/p2,1]);
  tf_sys = tf(num , den);
  bode(tf_sys)
end
legend( 'k = 0.8',...
        'k = 0.9',...
        'k = 1 ',...
        'k = 1.1',...
        'k = 1.2')
%%

结论：零极点对，对频域特性响应有限

时域特性

给阶跃信号，发现零极点对，对阶跃响应影响很大。这在采样电路设计中影响很大。

%%pole-zero doublet setting responseclear;clc;
p1=1e3;
A0 = 1e3;
w_doublet = 20e3;
k=1;
for k=0.8:0.1:1.2
  z2 = w_doublet;
  p2 = w_doublet*k ;
  num= A0.*[1/z2,1];
  den = conv([1/p1,1],[1/p2,1]);
  tf_sys = tf(num , den);
  tf_sys = tf_sys/(1+tf_sys)
  figure(1);
  hold on;
  t =0:1e-7:15e-5;
  step(tf_sys,t);
end
legend( 'k =0.8',...
        'k=0.9',...
        'k = 1',...
        'k = 1.1',...
        'k = 1.2')