scipy-interpolate整理

官方文档地址:https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/interpolate.html

插值中使用的对象的子包。

如下所列，该子包包含样条函数和类、一维和多维（单变量和多元）插值类、拉格朗日和泰勒多项式插值器以及 FITPACK 和 DFITPACK 函数的包装器。

Univariate interpolation 单变量插值

函数名称	说明
interp1d(x, y[, kind, axis, copy, …])	插值一维函数。
BarycentricInterpolator(xi[, yi, axis])	一组点的插值多项式
KroghInterpolator(xi, yi[, axis])	一组点的插值多项式。
barycentric_interpolate(xi, yi, x[, axis])	多项式插值的便捷函数。
krogh_interpolate(xi, yi, x[, der, axis])	多项式插值的便捷函数。
pchip_interpolate(xi, yi, x[, der, axis])	pchip 插值的便捷功能。
CubicHermiteSpline(x, y, dydx[, axis, …])	分段三次插值器匹配值和一阶导数。
PchipInterpolator(x, y[, axis, extrapolate])	PCHIP 一维单调三次插值。
Akima1DInterpolator(x, y[, axis])	Akima插值器
CubicSpline(x, y[, axis, bc_type, extrapolate])	三次样条数据插值器。
PPoly(c, x[, extrapolate, axis])	用系数和断点表示的分段多项式
BPoly(c, x[, extrapolate, axis])	用系数和断点表示的分段多项式。

Multivariate interpolation 多元插值

Unstructured data 非结构化数据：:

名称	说明
griddata(points, values, xi[, method, …])	插入非结构化 D-D 数据。
LinearNDInterpolator(points, values[, …])	N > 1 维的分段线性插值。
NearestNDInterpolator(x, y[, rescale, …])	最近的ND插值器（x，y）。
CloughTocher2DInterpolator(points, values[, …])	CloughTocher2DInterpolator（点，值，tol=1e-6）。
RBFInterpolator(y, d[, neighbors, …])	N 维径向基函数 (RBF) 插值。
Rbf(*args, **kwargs)	用于从 N 维分散数据到 M 维域的函数的径向基函数插值的类。

For data on a grid 对于网格上的数据：:

名称	说明
interpn(points, values, xi[, method, …])	规则或直线网格上的多维插值。
RegularGridInterpolator(points, values[, …])	在任意维度的规则或直线网格上进行插值。
RectBivariateSpline(x, y, z[, bbox, kx, ky, s])	矩形网格上的双变量样条近似。

Tensor product polynomials 张量积多项式：:

NdPPoly(c, x[, extrapolate])

分段张量积多项式

1-D Splines 一维样条

名称	说明
BSpline(t, c, k[, extrapolate, axis])	B 样条基础上的单变量样条。
make_interp_spline(x, y[, k, t, bc_type, …])	计算插值 B 样条（的系数）。
make_lsq_spline(x, y, t[, k, w, axis, …])	计算基于 LSQ（最小二乘）的拟合 B 样条（的系数）。
make_smoothing_spline(x, y[, w, lam])	使用 lam 计算平滑三次样条函数（的系数），以控制曲线的平滑度与其与数据的接近度之间的权衡。

Functional interface to FITPACK routines FITPACK 例程的功能接口：:

名称	说明
splrep(x, y[, w, xb, xe, k, task, s, t, …])	求一维曲线的 B 样条表示。
splprep(x[, w, u, ub, ue, k, task, s, t, …])	求 N 维曲线的 B 样条表示。
splev(x, tck[, der, ext])	评估 B 样条或其导数。
splint(a, b, tck[, full_output])	计算两个给定点之间 B 样条的定积分。
sproot(tck[, mest])	求三次 B 样条的根。
spalde(x, tck)	计算 B 样条的所有导数。
splder(tck[, n])	计算给定样条曲线的导数的样条曲线表示
splantider(tck[, n])	计算给定样条线的反导数（积分）的样条线。
insert(x, tck[, m, per])	将结插入 B 样条曲线。

Object-oriented FITPACK interface 面向对象的FITPACK接口：:

名称	说明
UnivariateSpline(x, y[, w, bbox, k, s, ext, …])	一维平滑样条拟合给定的一组数据点。
InterpolatedUnivariateSpline(x, y[, w, …])	给定数据点集的一维插值样条。
LSQUnivariateSpline(x, y, t[, w, bbox, k, …])	具有显式内部结的一维样条线。

2-D Splines 二维样条曲线

For data on a grid 对于网格上的数据：:

名称	说明
RectBivariateSpline(x, y, z[, bbox, kx, ky, s])	矩形网格上的双变量样条近似。
RectSphereBivariateSpline(u, v, r[, s, …])	球体上矩形网格的双变量样条近似。

For unstructured data 对于非结构化数据：:

名称	说明
BivariateSpline()	二元样条的基类。
SmoothBivariateSpline(x, y, z[, w, bbox, …])	平滑二元样条近似。
SmoothSphereBivariateSpline(theta, phi, r[, …])	球坐标中的平滑二元样条近似。
LSQBivariateSpline(x, y, z, tx, ty[, w, …])	加权最小二乘二元样条近似。
LSQSphereBivariateSpline(theta, phi, r, tt, tp)	球坐标中的加权最小二乘二元样条近似。

Low-level interface to FITPACK functions FITPACK 函数的低级接口：:

名称	说明
bisplrep(x, y, z[, w, xb, xe, yb, ye, kx, …])	求曲面的二元 B 样条表示。
bisplev(x, y, tck[, dx, dy])	评估二元 B 样条及其导数。

Additional tools 附加工具

名称	说明
lagrange(x, w)	拉格朗日(x, w)
approximate_taylor_polynomial(f, x, degree, …)	通过多项式拟合估计 f 在 x 处的泰勒多项式。
pade(an, m[, n])	将多项式的 Pade 近似值返回为两个多项式的比率。

pchip 是 PchipInterpolator 的别名，用于向后兼容（不应在新代码中使用）。

scipy.interpolate.interp1d 插值一维函数。

此类被视为遗留类，将不再接收更新。 这也可能意味着它将在未来的 SciPy 版本中被删除。

原文地址:

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.interpolate.interp1d.html#scipy.interpolate.interp1d

class scipy.interpolate.interp1d(x, y, kind=‘linear’, axis=-1, copy=True, bounds_error=None, fill_value=nan, assume_sorted=False)

x 和 y 是用于近似某个函数 f 的值数组：y = f(x)。 此类返回一个函数，其调用方法使用插值来查找新点的值。

参数：

• x(npoints, )

  实数值的一维数组。

• y(…, npoints, …)

  实数值的 N 维数组。 y 沿插补轴的长度必须等于 x 的长度。 使用轴参数选择正确的轴。 与其他插补器不同，默认插补轴是 y 的最后一个轴。

• kind (str or int, optional)

  将插值类型指定为字符串或整数，指定要使用的样条插值器的顺序。 该字符串必须是 ‘linear’, ‘nearest’, ‘nearest-up’, ‘zero’, ‘slinear’, ‘quadratic’, ‘cubic’, ‘previous’, or ‘next’. ‘zero’, ‘slinear’, ‘quadratic’ and ‘cubic’ 是指零阶、一阶、二阶或三阶样条插值；; ‘previous’ and ‘next’ 只是返回该点的上一个或下一个值; 插值半整数（例如 0.5、1.5）时, ‘nearest-up’ and ‘nearest’ 不同, ‘nearest-up’ 向上舍入, ‘nearest’ 向下舍入. 默认为“线性”。

• axis (int, optional)

  y 数组中的轴对应于 x 坐标值。 与其他插值器不同，默认为 axis=-1。

• copy (bool, optional)

  如果为 True，则该类会生成 x 和 y 的内部副本。 如果为 False，则使用对 x 和 y 的引用。 默认是复制。

• bounds_error (bool, optional)

  如果为 True，则每当尝试对 x 范围之外的值进行插值（需要外推时）都会引发 ValueError。 如果为 False，则将超出范围的值分配给 fill_value。 默认情况下，除非 fill_value=“extrapolate”，否则会引发错误。

• fill_value (array-like or (array-like, array_like) or “extrapolate”, optional)

  • 如果是 ndarray （或 float），则该值将用于填充数据范围之外的请求点。 如果未提供，则默认值为 NaN。 类似数组必须正确广播到非插值轴的维度。
  • 如果是双元素元组，则第一个元素用作 x_new < x[0] 的填充值，第二个元素用作 x_new > x[-1] 的填充值。 任何不是 2 元素元组的东西（例如，list 或 ndarray，无论形状如何）都被视为单个类似数组的参数，用于两个边界，如下所示，below, above = fill_value, fill_value.。 使用二元素元组或ndarray需要bounds_error=False。
  • 如果“外推”，则将外推数据范围之外的点。

• assume_sorted (bool, optional)

  如果为 False，则 x 的值可以按任何顺序排列，并且首先对它们进行排序。 如果为 True，则 x 必须是单调递增值的数组。

注意

使用输入值中存在 NaN 调用 interp1d 会导致未定义的行为。

输入值 x 和 y 必须可转换为浮点值，例如 int 或 float。

如果 x 中的值不唯一，则生成的行为是未定义的并且特定于类型的选择，即更改类型将更改重复项的行为。

示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import interpolate
x = np.arange(0, 50)
y = np.exp(-x/5.0)
f = interpolate.interp1d(x, y)
xnew = np.arange(0, 50, 1)
ynew = f(xnew)   # use interpolation function returned by `interp1d`
plt.plot(x, y, 'o', xnew, ynew, '-')
plt.show()

scipy.interpolate.UnivariateSpline 一维平滑样条拟合给定的一组数据点

class scipy.interpolate.UnivariateSpline(x, y, w=None, bbox=[None, None], k=3, s=None, ext=0, check_finite=False)

将 k 次样条 y = spl(x) 拟合到提供的 x、y 数据。 s 通过指定平滑条件来指定结数。

参数：

• x(N,) array_like

  独立输入数据的一维数组。 一定会增加； 如果 s 为 0，则必须严格递增。

• y(N,) array_like

  相关输入数据的一维数组，长度与 x 相同。

• w(N,) array_like, optional

  样条拟合的权重。 必须是积极的。 如果w为None，则权重均为1。默认为None。

• bbox(2,) array_like, optional

  指定近似区间边界的 2 序列。 如果 bbox 为 None，则 bbox=[x[0], x[-1]]。 默认为“无”。

• k (int, optional)

  平滑样条的程度。 必须为 1 <= k <= 5。k = 3 是三次样条。 默认值为 3。

• s (float or None, optional)

  正平滑因子用于选择节数。 节点数将增加，直到满足平滑条件:

  sum((w[i] * (y[i]-spl(x[i])))**2, axis=0) <= s

  但由于数值问题，实际情况是:

  abs(sum((w[i] * (y[i]-spl(x[i])))**2, axis=0) - s) < 0.001 * s

  如果 s 为 None，则对于使用所有数据点的平滑样条线，s 将设置为 len(w)。 如果为 0，样条曲线将通过所有数据点进行插值。 这相当于 InterpolatedUnivariateSpline。 默认为None。 用户可以使用 s 来控制贴合的紧密度和平滑度之间的权衡。 较大的 s 意味着更多的平滑，而较小的 s 值表明更少的平滑。 s 的推荐值取决于权重 w。 如果权重表示 y 标准差的倒数，则应在 (m-sqrt(2m),m+sqrt(2m)) 范围内找到良好的 s 值，其中 m 是 x、y 和 w 中的数据点。 这意味着如果 1/w[i] 是 y[i] 标准差的估计值，则 s = len(w) 应该是一个不错的值。

• ext (int or str, optional)

  控制不在结序列定义的区间内的元素的外推模式。

  如果 ext=0 or ‘extrapolate’, 则返回外推值。

  如果 ext=1 or ‘zeros’, 则返回 0。

  如果 ext=2 or ‘raise’, 则引发 ValueError。

  如果 ext=3 of ‘const’, 则返回边界值。

  默认值为 0。

• check_finite (bool, optional)

  是否检查输入数组是否仅包含有限数字。 禁用可能会带来性能增益，但如果输入确实包含无穷大或 NaN，则可能会导致问题（崩溃、非终止或无意义的结果）。 默认值为 False。

注意

数据点的数量必须大于样条度 k。

NaN 处理：如果输入数组包含 nan 值，则结果没有用，因为底层样条拟合例程无法处理 nan。 解决方法是对非数字数据点使用零权重：

import numpy as np
from scipy.interpolate import UnivariateSpline
x, y = np.array([1, 2, 3, 4]), np.array([1, np.nan, 3, 4])
w = np.isnan(y)
y[w] = 0.
spl = UnivariateSpline(x, y, w=~w)

请注意，需要将 nan 替换为数值（只要相应的权重为零，精确值并不重要。）

References 参考

基于[1]、[2]、[3]和[4]中描述的算法：

[1]

P. Dierckx, “An algorithm for smoothing, differentiation and integration of experimental data using spline functions”, J.Comp.Appl.Maths 1 (1975) 165-184.

[2]

P. Dierckx, “A fast algorithm for smoothing data on a rectangular grid while using spline functions”, SIAM J.Numer.Anal. 19 (1982) 1286-1304.

[3]

P. Dierckx, “An improved algorithm for curve fitting with spline functions”, report tw54, Dept. Computer Science,K.U. Leuven, 1981.

[4]

P. Dierckx, “Curve and surface fitting with splines”, Monographs on Numerical Analysis, Oxford University Press, 1993.

示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import UnivariateSpline
rng = np.random.default_rng()
x = np.linspace(-3, 3, 50)
y = np.exp(-x**2) + 0.1 * rng.standard_normal(50)
plt.plot(x, y, 'ro', ms=5)
# 使用平滑参数的默认值：
spl = UnivariateSpline(x, y)
xs = np.linspace(-3, 3, 1000)
plt.plot(xs, spl(xs), 'g', lw=3)
# 手动更改平滑量：
spl.set_smoothing_factor(0.5)
plt.plot(xs, spl(xs), 'b', lw=3)
plt.show()

plt.figure()
plt.plot(x, y, 'ro', ms=3)
spl1 = UnivariateSpline(x, y, k=2, s=1)
spl2 = UnivariateSpline(x, y, k=3, s=1)
spl3 = UnivariateSpline(x, y, k=4, s=1)
spl4 = UnivariateSpline(x, y, k=5, s=1)
spl5 = UnivariateSpline(x, y, k=3, s=1)
spl6 = UnivariateSpline(x, y, k=3, s=3)
spl7 = UnivariateSpline(x, y, k=3, s=5)

xs = np.linspace(-3, 3, 100)
plt.plot(xs, spl1(xs), color='r', lw=1, label="k=2, s=1, red")
plt.plot(xs, spl2(xs), color='g', lw=1, label="k=3, s=1, green")
plt.plot(xs, spl3(xs), color='b', lw=1, label="k=4, s=1, blue")
plt.plot(xs, spl4(xs), color='c', lw=1, label="k=5, s=1, cyan")
plt.plot(xs, spl5(xs), color='m', lw=1, label="k=3, s=1, magenta")
plt.plot(xs, spl6(xs), color='y', lw=1, label="k=3, s=3, yellow")
plt.plot(xs, spl7(xs), color='k', lw=1, label="k=3, s=5, black")
plt.legend()
plt.show()

方法

名称	说明
__call__(x[, nu, ext])	计算位置 x 处的样条曲线（或其 nu 阶导数）。
antiderivative([n])	构造一个代表该样条线的反导数的新样条线。
derivative([n])	构造一个新样条线，表示该样条线的导数。
derivatives(x)	返回样条曲线在点 x 处的所有导数。
get_coeffs()	返回样条系数。
get_knots()	返回样条线内部结的位置。
get_residual()	返回样条近似值的残差平方和的加权和。
integral(a, b)	返回两个给定点之间样条线的定积分。
roots()	返回样条曲线的零点。
set_smoothing_factor(s)	使用给定的平滑因子 s 和上次调用时找到的结继续进行样条计算。

scipy/reference/generated/scipy.interpolate.UnivariateSpline.roots.html#scipy.interpolate.UnivariateSpline.roots)() | 返回样条曲线的零点。 |
| set_smoothing_factor(s) | 使用给定的平滑因子 s 和上次调用时找到的结继续进行样条计算。 |