请你判断一个 9 x 9 的数独是否有效。只需要 根据以下规则 ，验证已经填入的数字是否有效即可。

1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

注意：

• 一个有效的数独（部分已被填充）不一定是可解的。
• 只需要根据以上规则，验证已经填入的数字是否有效即可。
• 空白格用 '.' 表示。

思路一：普通人暴力法，使用哈希表

class Solution {
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) {
        int rowSize = board.length;
        int cellSize = board[0].length;
        Set<Character> set = new HashSet<>();

        for(int i=0; i<rowSize; i++) {
            set.clear();
            for(int j=0; j<cellSize; j++) {
                char ele = board[i][j];
                if('.' != ele) {
                    if(set.contains(ele)) {
                        return false;
                    }
                    set.add(ele);
                }
            }
        }

        for(int i=0; i<cellSize; i++) {
            set.clear();
            for(int j=0; j<rowSize; j++) {
                char ele = board[j][i];
                if('.' != ele) {
                    if(set.contains(ele)) {
                        return false;
                    }
                    set.add(ele);
                }
            }
        }

        for(int i=0; i<3; i++) {
            for(int j=0; j<3; j++) {
                set.clear();
                for(int k=i*3;k<(i+1)*3;k++) {
                    for(int q=j*3;q<(j+1)*3;q++) {
                        char ele = board[k][q];
                        if('.' != ele) {
                            if(set.contains(ele)) {
                                return false;
                            }
                            set.add(ele);
                        }
                    }
                }
            }
        }
        
        return true;
    }
}

思路二：数学方法

class Solution {
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) {
        int[][] rows = new int[9][9];
        int[][] columns = new int[9][9];
        int[][][] subboxes = new int[3][3][9];
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                char c = board[i][j];
                if (c != '.') {
                    int index = c - '0' - 1;
                    rows[i][index]++;
                    columns[j][index]++;
                    subboxes[i / 3][j / 3][index]++;
                    if (rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[i / 3][j / 3][index] > 1) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
}