多项式时间规约

Polynomial-Time Reductions ：如果问题 $Y$ 的任意实例可以通过多项式次数的标准计算步骤，加上对解决问题 $X$ 的黑盒的多项式次数调用来解决，那么称问题 $Y$ 可以在多项式时间归约为问题 $X$，记为 $Y{\le }_{p}X$ 。

规约的两个用途：假设 $Y{\le }_{p}X$

• 设计算法、证明下界：如果 $X$ 可以在多项式时间内求解，那么 $Y$ 也可以在多项式时间内求解
• 确定问题之间的相对难度：如果在多项式时间内无法求解 $Y$ ，那么 $X$ 也不能在多项式时间内求解

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复杂度类

判定问题：输出是布尔值（是/否）的问题

复杂类	性质
P	可以在多项式时间内解决的判定问题
NP	有如下性质的判定问题：如果答案为 是 ，可以在多项式时间内检查该答案的正确性
co-NP	有如下性质的判定问题：如果答案为 否 ，可以在多项式时间内检查该答案的正确性
NP-hard	问题 $\pi$ 可以在多项式时间内解决，那么 $\pi \in$ NP-hard
NP-complete	问题 $\pi \in$ NP 并且 $\pi \in$ NP-hard , 那么 $\pi \in$ NP-complete

常见复杂度类之间的关系

• P 中的每⼀个问题都在 NP 中
• P 中的每⼀个问题都在 co-NP 中
• P ≠ NP ∩ co-NP