目录
矩阵的定义
矩阵的运算
相加
相乘
数乘
与单位阵相乘
矩阵的幂
转置
特殊矩阵
数量矩阵
对称矩阵
伴随矩阵
逆矩阵
初等变换
矩阵的定义
由个数排成的m行n列的数表,称为m行n列的矩阵,简称矩阵,记作:
简记为:
这个数称为矩阵A的(第i行第j列)元素.
矩阵只是由数字排列成的一个表格,其本身不包含任何运算规则
- 行矩阵:只有一行
- 列矩阵:只有一列
- 负矩阵:所有元素取负数
- 方阵:行数和列数相等
- 单位阵:主对角线全为 1 ,其余元素全为 0 ,记为 E
- 同型矩阵:两矩阵行与列数 一致
矩阵的运算
相加
两个同型的矩阵才能进行相加,设两个矩阵与,那A与B的和定义为,记作A+B,即
对应元素相加
相乘
矩阵的乘积要牢记这个式子:
也就是相乘的两个矩阵中,要有一方的列数等于另一方的行数 。
注意:
- 矩阵运算中,;
- ,不能推出;
- 不能推出
数乘
这个数乘矩阵的所有元素
与单位阵相乘
矩阵的幂
共K个,特别地,
转置
与行列式的定义是一致的。
- (重点,顺序不能对换)
- (A的转置的值等于A的值)
- (重点)
特殊矩阵
数量矩阵
主对角线全为a,其余元素为0,则
数量矩阵(是方阵)用于伸缩变化,是特殊的对角型矩阵对角型矩阵(也是方阵)可以记作
左乘数量矩阵是对行做伸缩变换,右乘是对列做伸缩变换.
对称矩阵
是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如:
对称矩阵的转置等于其自身,即:
定理: 假如A,B 是对称矩阵,且AB也对称,则AB可交换
证明:
反对称矩阵
主对角线全为0,有
伴随矩阵
针对方阵,求伴随矩阵的步骤:
- 求所有元素的代数余子式
- 将代数余子式的行按列排放;
这两步构成的矩阵,就是伴随矩阵,记为
性质: 对任意方阵:
注意:
矩阵提公因子是提所有行,行列式提公因子是提一行
两边同时取行列式,可得
只有一个元素的伴随矩阵为1
逆矩阵
对于A的n阶方阵,存在n阶方阵B,
- 未必所有的方阵都可逆
- 如果方阵可逆,则逆矩阵唯一
如何判断可逆,如何求?
如果,称这个矩阵为非奇异、满秩矩阵,该矩阵可逆 。
定理 :A可逆的充要条件,
相关概念:奇异矩阵 和秩
如果一个矩阵的行列式等于零,则该矩阵被称为奇异矩阵。
非零子式的最高阶数就叫做秩,例如:
该矩阵的秩就为2,矩阵A的秩用或来表示。
初等变换
初等行变换、初等列变换(本质:对矩阵的一种变化,用箭头表示变换过程,不能用等号)
- 两行交换
- k(不为0)乘以某一行
- 某行k倍加到另一行
定理: 任给一个矩阵,都可以通过初等变化为标准型。
标准形矩阵:每个非零行的第一个非零元素为1,每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零,则是最简形矩阵。
等价: 由矩阵A初等变换为B,叫即,A等价于B
等价有自反性,对称性,传递性.
初等变化不改变矩阵的秩。
END