线性代数——（期末突击）矩阵（上）-概念篇（矩阵的定义、矩阵的运算、特殊矩阵、初等变换）

矩阵的定义

矩阵的运算

相加

相乘

数乘

与单位阵相乘

矩阵的幂

转置

特殊矩阵

数量矩阵

对称矩阵

伴随矩阵

逆矩阵

初等变换

矩阵的定义

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)$ 排成的m行n列的数表，称为m行n列的矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵，记作：

$A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... & a_{2n}\\ ... &... & &... \\ a_{m1} &a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix}$

简记为： $A=A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}=(a_{ij}).$

这 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ 称为矩阵A的（第i行第j列）元素.

矩阵只是由数字排列成的一个表格，其本身不包含任何运算规则

行矩阵：只有一行
列矩阵：只有一列
负矩阵：所有元素取负数
方阵：行数和列数相等 $A_{nn}$
单位阵：主对角线全为 1 ，其余元素全为 0 ，记为 E
同型矩阵：两矩阵行与列数一致

矩阵的运算

相加

两个同型的矩阵才能进行相加，设两个 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 与 $B=(b_{ij})$ ，那A与B的和定义为 $(a_{ij}+b_{ij})$ ，记作A+B，即

$A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} &... &a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} &... & a_{2n}+b_{2n}\\ ...& ...& ... &... \\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2} &... &a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}$

对应元素相加

相乘

矩阵的乘积要牢记这个式子：

$A_{m\times n}\times B_{n\times s}=C_{m\times s}$

也就是相乘的两个矩阵中，要有一方的列数等于另一方的行数。

注意：

矩阵运算中， $AB\neq BA$ ；
$AB=AC(A\neq 0)$ ，不能推出 $B=C$ ；
$AB=0$ 不能推出 $A=0,B=0$

数乘

这个数乘矩阵的所有元素

$K\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 &1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} K & K &K \\ K&K &K \\ K &K & K \end{bmatrix}$

与单位阵相乘

$AE=A\: \: \: \: \: EB=B$

矩阵的幂

$A^k=AA...A$ 共K个，特别地， $A^0=E$

转置

与行列式的定义是一致的。

$(AB)^T=B^TA^T$ （重点，顺序不能对换）
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(kA)^T=kA^T$
$\left | A^T \right |=\left | A \right |$ （A的转置的值等于A的值）
$\left | kA \right |=k^n\left | A \right |$ （重点）
$\left | AB \right |=\left | A \right |\cdot \left | B \right |$

特殊矩阵

数量矩阵

主对角线全为a，其余元素为0，则 $A=aE$

数量矩阵（是方阵）用于伸缩变化，是特殊的对角型矩阵对角型矩阵（也是方阵）可以记作 $diag(a_1,a_2,...,a_n)$

左乘数量矩阵是对行做伸缩变换，右乘是对列做伸缩变换.

对称矩阵

是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：

$\begin{bmatrix} 2 &5 &6 \\ 5 & 0 & 7\\ 6& 7 & 3 \end{bmatrix}$

对称矩阵的转置等于其自身，即：

$A^T=A$

定理： 假如A，B 是对称矩阵，且AB也对称，则AB可交换

证明： $(AB)^T=B^TA^T=BA=AB$

反对称矩阵

主对角线全为0，有 $A^T=-A$

伴随矩阵

针对方阵，求伴随矩阵的步骤：

求所有元素的代数余子式
将代数余子式的行按列排放；

这两步构成的矩阵，就是伴随矩阵，记为 $A^*$

性质：对任意方阵： $AA^*=A^*A=\left | A \right |E$

注意：

矩阵提公因子是提所有行，行列式提公因子是提一行

两边同时取行列式,可得 $\left | A^* \right |=\left | A \right |^{n-1}$

只有一个元素的伴随矩阵为1

逆矩阵

对于A的n阶方阵，存在n阶方阵B， $AB=BA=E\: \: \: \: \: \: \: \: \: A^{-1}=B$

未必所有的方阵都可逆
如果方阵可逆，则逆矩阵唯一

如何判断可逆，如何求？

如果 $\left | A \right |\neq 0$ ，称这个矩阵为非奇异、满秩矩阵，该矩阵可逆。

定理：A可逆的充要条件 $\left | A \right |\neq 0$ ， $A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}A^*$

相关概念：奇异矩阵和秩

如果一个矩阵的行列式等于零，则该矩阵被称为奇异矩阵。

非零子式的最高阶数就叫做秩，例如：

$A=\begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0& 1 &2 & 3\\ 0 &0 &0 & 0\\ \end{bmatrix}$ 该矩阵的秩就为2，矩阵A的秩用 $r(A)$ 或 $rank(A)$ 来表示。

初等变换

初等行变换、初等列变换（本质：对矩阵的一种变化，用箭头表示变换过程，不能用等号）

两行交换
k（不为0）乘以某一行
某行k倍加到另一行

定理：任给一个矩阵，都可以通过初等变化为标准型。

标准形矩阵：每个非零行的第一个非零元素为1，每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零，则是最简形矩阵。

等价：由矩阵A初等变换为B，叫 $A\simeq B$ 即，A等价于B

等价有自反性，对称性，传递性.

初等变化不改变矩阵的秩。

END

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