写于：2024年1月2日星期二
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本文从两个角度对线性规划中的解做划分，角度一是将解划为基解、基可行解、可行解；角度二是将解划分为无可行解、无界解、最优解（唯一和无穷多）。同时，详细描述各种解的定义、判定、几何意义及其联系。
| 定义 | 判定 | 几何意义 | |
| 基解 | 令所有约束中非基变量（不是组成基阵的基变量对应的变量）为0的得到的解 | 1、对应一个基阵，令非基变量为0，得到对应基B的基解X=[B⁻¹b, 0]ᵀ。非零变量数小于等于基阵的阶数 2、基解中非基变量(=0)个数是否为n-m个(系数矩阵为m*n阶)；基变量(非0)对应的Pj组成的矩阵是否满秩(构成基阵)；是否满足除变量取值约束外的约束 | 所有约束条件的交点 |
| 可行解 | 满足线性规划所有约束条件的解 | 满足所有约束 | 可行域中的解 |
| 基可行解 | 基解中满足非负约束的解 | 1、基解＋满足非负约束 2、可行解＋(m-n)个取值为0的非基变量＋取值非零的基变量对应的系数矩阵为基阵（不考虑退化情况） | 可行域（凸集）顶点 |
| 联系 | 单纯形法迭代原则便是基可行解之间的迭代 基可行解属于基解，也属于可行解。 可行解 X =(X1,X2,… Xm ,0,…,0) ᵀ是基可行解的充要条件是 X 的非零分量所对应的系数列向量是线性无关的。 数量关系：C(m,n)≥基阵数=基解数≥基可行解，m≤n
2、3、4、6、9为基可行解，所有画圈处为基解，阴影部分为可行解 | ||
| 判定 | 几何意义 | ||
| 无界解 | 可行域无界（也为凸集，产生原因是约束条件较松/缺失） | 存在非基变量检验数>0，而且该变量对应的系数列向量全部≤0 | |
| 无解（无可行解） | 可行域为空； 检验数≤0时，基变量中含有非零的人工变量； 两阶段法的第一阶段中基变量有人工变量 | 可行域为空，约束条件冲突 | |
| 最优解（使目标函数值达到最大的解） | |||
| 无穷多最优解 | 所有检验数都≤0，基变量中没有非零的人工变量，但存在非基变量检验数=0 | 多个最优基可行解在同一个超平面上，且该平面与目标函数等值面平行。 | 求得一个最优解X₁后，令检验数为0的非基变量作换入基变量，进而求得另一个最优解X₂。无穷多最优解的表示：X =αX₁+(1-α)X₂，α∈(0,1)，X₁、X₂为两个最优解，即两最优解连线上的均为最优解 |
| 唯一最优解 | 所有检验数都≤0，基变量中没有非零的人工变量，而且非基变量检验数严格小于0 | 可行域（凸集）顶点 | |
| 可行域与解的关系（主要看等值线与边界线的关系） | 可行域有界可能有唯一最优解、无穷多最优解 可行域无解可能有唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解 | ||
退化解（不是一种特殊的解，而是一种现象）
判定：存在基变量取值为0（非零基变量数小于约束个数）；（换入）有多个相同的正检验数；（换出）存在两个相同的最小比值。处理方式Bland规则：选择下标小的变量
几何意义：有多余约束，即多个约束方程交于一个顶点，且该顶点对应最优解
