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汇总版，省略了中间试错的过程与步骤

1. 极小多项式

1. 对 $\alpha$ 的极小多项式

1. 表达式变换：设 $f(x)=x-\alpha =x-\sqrt[3]{2}-\sqrt{-2}$。
2. 消去根号：

   • 首先处理 $\sqrt[3]{2}$：

   • 然后处理 $\sqrt{-2}$，通过平方两边来消除根号：

   • 因此，$\alpha$ 的极小多项式为 $f(x)=x^6+6x^4-4x^3+12x^2+24x+12$。

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和手动计算结果一致

2. 对 $\alpha +1$ 的极小多项式

$\alpha +1$ 的极小多项式，该多项式是：

$f(x)=x^6-6x^5+21x^4-48x^3+75x^2-42x+11$

3. 对 ${\alpha }^2+\alpha +1$ 的极小多项式

该多项式是：$f(x)=x^6+6x^5+9x^4+176x^3+615x^2-1062x+387$

2. 范数 $N$

结果如下：

1. $N(2)$ 的范数为 $2$。
2. $N(\sqrt[3]{2})$ 的范数为 $2$。
3. $N(\sqrt{-2})$ 的范数为 $2$。
4. $N(\alpha )$ （其中 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$）的范数为 $12$。
5. $N(\alpha +5)$ 的范数为 $20067$。
6. $N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的范数为 $33$。

3. 数域 $K$ 的范数 $N_K$

1. $N_K(2)$
   $2$ 是一个有理数，其最小多项式是 $x-2$。因此，$N_K(2)$ 是这个多项式的根 $2$ 的乘积，即 $2^6=64$（因为 $\alpha$ 的最小多项式是六次的）。

2. $N_K(\sqrt[3]{2})$
   $\sqrt[3]{2}$ 的共轭在 $K$ 中有三个（因为它的最小多项式是三次的），包括 $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{2}\omega$, 和 $\sqrt[3]{2}{\omega }^2$（其中 $\omega$ 是三次单位根）。在 $K$ 中，我们需要考虑六个共轭，所以 $N_K(\sqrt[3]{2})=(\sqrt[3]{2}{)}^3\times (\sqrt[3]{2}{)}^3=2^2=4$。

3. $N_K(\sqrt{-2})$
   $\sqrt{-2}$ 的共轭在 $K$ 中有两个（因为它的最小多项式是二次的），包括 $\sqrt{-2}$ 和 $-\sqrt{-2}$。在 $K$ 中，我们需要考虑六个共轭，所以 $N_K(\sqrt{-2})=(\sqrt{-2}{)}^2\times (\sqrt{-2}{)}^2\times (\sqrt{-2}{)}^2=(-2{)}^3=-8$。

4. $N_K(2)=64$

5. $N_K(\sqrt[3]{2})=4$

6. $N_K(\sqrt{-2})=-8$

7. $N_K(\alpha +5)$的结果是一个复数表达式：$(\sqrt[3]{2}+5+\sqrt{2}i{)}^6$

8. $N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$的结果也是一个复数表达式：$(1+1.12246204830937\sqrt{2}i{)}^6$

4. 迹 $T$

首先，找出 $\alpha$ 的共轭元素。这涉及解决 $f(x)=0$ 的方程，但这个方程过于复杂，无法用简单的代数方法解决。
然而，由于 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的一个根，我们知道至少有六个共轭元素（包括 $\alpha$ 本身），它们可能是实数或复数。
迹 $T(a)$ 是所有共轭元素的和。对于简单的元素如 $2$ 或 $\sqrt[3]{2}$，这些值在共轭元素下的表达式是明确的。
对于 $\alpha$ 和更复杂的表达式，这些值将取决于 $\alpha$ 的具体共轭元素。

1. $T(2)$
   由于 $2$ 是一个常数，它在每个共轭元素下的值都是 $2$。
   因此，$T(2)$ 是 $2$ 与共轭元素的数量（这里是 6）的乘积：
   $T(2)=2\times 6=12$

2. $T(\sqrt[3]{2})$
   同样，$\sqrt[3]{2}$ 是一个常数，所以 $T(\sqrt[3]{2})$ 是 $\sqrt[3]{2}$ 与共轭元素的数量的乘积：
   $T(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\times 6$

3. $T(\sqrt{-2})$
   由于 $\sqrt{-2}$ 是一个常数，其迹是：
   $T(\sqrt{-2})=\sqrt{-2}\times 6$

1. $T_K(2)=12$
2. $T_K(\sqrt[3]{2})=6\sqrt[3]{2}$
3. $T_K(\sqrt{-2})$的结果是一个纯虚数：$6\sqrt{2}i$
4. $T_K(\alpha )$的结果是一个复数：$6\sqrt[3]{2}+6\sqrt{2}i$
5. $T_K(\alpha +5)$ 的结果也是一个复数：$6\sqrt[3]{2}+30+6\sqrt{2}i$
6. $T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的结果也是一个复数：$6+6\cdot 2^{5/6}i$

5. 数域 $K$ 的迹 $T_K$

对于第5题，既然 $\alpha =\sqrt[3]{2}+\sqrt{-2}$，那么数域 $K=\mathbb{Q}(\alpha )$ 实际上是 $\alpha$ 的极小多项式的分裂域。这意味着在这个特定情况下，计算元素的迹和计算它在数域 $K$ 中的迹是相同的过程。
因此，第5题和第4题的答案相同。

1. $T_K(2)=12$
2. $T_K(\sqrt[3]{2})=6\sqrt[3]{2}$
3. $T_K(\sqrt{-2})$的结果是一个纯虚数：$6\sqrt{2}i$
4. $T_K(\alpha )$的结果是一个复数：$6\sqrt[3]{2}+6\sqrt{2}i$
5. $T_K(\alpha +5)$ 的结果也是一个复数：$6\sqrt[3]{2}+30+6\sqrt{2}i$
6. $T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1)$ 的结果也是一个复数：$6+6\cdot 2^{5/6}i$