1.二次规划

1.1 二次规划的定义

若某非线性规划的目标函数为自变量$x$的二次函数，且约束条件全是线性的，则称这种规划模型为二次规划。

1.2 二次规划的数学模型

$$\min \frac{1}{2}{\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Hx}+{\mathbf{f}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}$$
$$s.t.\{\begin{array}{c}\mathbf{Ax}⩽\mathbf{b}\\ Aeq\cdot \mathbf{x}=beq\\ lb⩽\mathbf{x}⩽ub\end{array}$$
式中：$\mathbf{H}$为实对称矩阵；$\mathbf{f}$,$\mathbf{b}$,$beq,lb,ub$为列向量；$\mathbf{A}$,$q$为相应维数的矩阵。

1.3 二次规划的matlab求解

MATLAB中求解二次规划的命令是

[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

其中，$x0$是向量$\mathbf{x}$的初始值.

2.案例分析

用MATLAB求解如下二次规划：
$$\min f\left(x\right)=2x_1^2-4x_1{x}_2+4x_2^2-6x_1-3x_2$$
$$s.t.\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2⩽3\\ 4x_1+x_2⩽9\\ x_1,x_2⩾0\end{array}$$
解：先看目标函数中的二次项：
$$2x_1^2-4x_1{x}_2+4x_2^2=\frac{1}{2}\left[x_1,x_2\right]\left[\begin{array}{cc}4& -4\\ -4& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$
所以$$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cc}4& -4;\\ -4& 8\end{array}\right]$$
再看目标函数中的一次项：
$$-6x_1-3x_2=\left[-6-3\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$
所以
$$f=\left[\begin{array}{c}-6\\ -3\end{array}\right]$$
接下来编写matlab代码：

H=[4,-4;-4,8];
f=[-6;-3];
A=[1,1;4,1];
b=[3;9];
lb=zeros(2,1);
x0=rand(2,1);
[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],x0)

求解结果：