算法通关村第十四关—堆能高效解决的经典问题(白银)

堆能高效解决的经典问题

一、在数组中找第K大的元素

LeetCode215 给定整数数组ums和整数k,请返回数组中第k个最大的元素。请注意，你需要找的是数组排序后的第k个最大的元素，而不是第k个不同的元素。

示例1：
输入：[3,2,1,5,6,4]和k=2
输出：5
示例2：
输入：[3,2,3,1,2,4,5,5,6]和K=4
输出：4

这个题比较好的方法是堆排序法和快速排序法。快速排序在第十关白银挑战已经分析过，这里先看堆排序如何解决问题。
这个题其实用大堆小堆都可以解决的，但是推荐“找最大用小堆，找最小用大堆，找中间用两个堆”，这样更容易理解，适用范围也更广。构造一个大小只有4的小根堆，为了更好说明情况，我们扩展一下序列[3,2,3,1,2,4,5,1,5,6,2,3]。
堆满了之后，对于小根堆，并一定所有新来的元素都可以入堆的，只有大于根元素的才可以插入到堆中，否则就直接抛弃。这是一个很重要的前提。另外元素进入的时候，先替换根元素，如果发现左右两个子树都小该怎么办呢？很显然应该与更小的那个比较，这样才能保证根元素一定是当前堆最小的。假如两个子孩子的值一样呢？那就随便选一个。

新元素插入的时候只是替换根元素，然后重新构造成小堆，完成之后，你会神奇的发现此时根的根元素正好是第4大的元素。
这时候你会发现，不管要处理的序列有多大，或者是不是固定的，根元素每次都恰好是当前序列下的第K大元素。
堆的代码自己实现是非常困难的，我们可以使用jdk的优先队列来解决，其思路是很简单的。由于找第K大元素，其实就是整个数组排序以后后半部分最小的那个元素。因此，我们可以维护一个有K个元素的最小堆：
1.如果当前堆不满，直接添加；
2.堆满的时候，如果新读到的数小于等于堆顶，肯定不是我们要找的元素，只有新遍历到的数大于堆顶的时候，才将堆顶拿出，然后放入新读到的数，进而让堆自己去调整内部结构。
说明：这里最合适的操作其实是replace(),即直接把新读进来的元素放在堆顶，然后执行下沉(siftDown()操作。Java当中的PriorityQueue没有提供这个操作，只好先polI()/add()再offer()/remove()。

class Solution {
    public int findKthLargest(int[] nums, int k){
        PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue();
        for(int i = 0; i < k; i++){
            queue.add(nums[i]);
        }
        for(int j = k; j < nums.length; j++){
            if(nums[j] > queue.peek()){
                queue.remove();
                queue.add(nums[j]);
            }
        }
        return queue.remove();
    }
}

二、堆排序原理

查找：找小用大，找大用小
排序：升序用小，降序用大。
前面介绍了如何用堆来进行特殊情况的查找，堆的另一个很重要的作用是可以进行排序，那怎么排的呢？
其实非常简单，我们知道在大顶堆中，根节点是整个结构最大的元素，先将其拿走，剩下的重排，此时根节点就是第二大的元素，我再将其拿走，再排，依次类推。最后堆只剩一个元素的时候，是不是拿走的数据也就排好序了？
具体来说，建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为的位置。
这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的一1个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是一1的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为1的一个元素，排序工作就完成了。
当然在上面的过程中，放到最后一个位置的元素就不参与排序和计算了。
看一个例子，我们对上面第一章的序列[12 23 54 2 65 45 92 47 204 31]进行排序，首先构建一个大顶堆，然后每次我们都让根元素出堆，剩下的继续调整为大顶堆：

这时候你会发现出堆的序列刚好是：204、92、65、54、47、45…。也就是刚好是从大到小的顺序排列的。
所以我们可以明白，如果是一个小顶堆，那自然是升序的。所以在排序的时候：
排序：升序用小，降序用大。
这个与前面的查找是相反的。
明白了这几个堆的特征，再做相关题目就毫无压力了。

三、合并K个排序链表

Leetcode23. 给你一个链表数组，每个链表都已经按升序排列。请你将所有链表合并到一个升序链表中，返回合并后的链表。

示例1：
输入：1ists=[[1,4,5],[1,3,4],[2,6]]
输出：[1,1,2,3,4,4,5,6]
解释：链表数组如下：
[
1->4->5,
1->3->4,
2->6
]
将它们合并到一个有序链表中得到。
1->1->2->3->4->4->5->6
给了数组，就建立多大的固定堆
给了几个数组，就建立多大的堆，固定大小的

这个问题五六种方法，我们现在就来看堆排序如何解决。因为每个队列都是从小到大排序的，我们每次都要找最小的元素，所以我们要用小根堆，构建方法和操作与大顶堆完全一样，不同的是每次比较谁更小。使用堆合并的策略是不管几个链表，最终都是按照顺序来的。每次都将剩余节点的最小值加到输出链表尾部，然后进行堆调整，最后堆空的时候，合并也就完成了。
还有一个问题，这个堆应该定义为多大呢？给了几个链表，堆就定义多大。

class Solution {
    public ListNode mergeKLists(ListNode[] lists) {
        PriorityQueue<ListNode> queue = new PriorityQueue<>((node1, node2) -> node1.val - node2.val);
        //一开始保存每个链表的头结点
        for(int i = 0; i < lists.length; i++){
            if(lists[i] != null)
            queue.add(lists[i]);
        }
        ListNode dummy = new ListNode(-1);
        ListNode cur = dummy;
        while(queue.size() > 0){
            cur.next = queue.remove();
            cur = cur.next;
            if(cur.next != null){
                queue.add(cur.next);
            }
        }
        return dummy.next;
    }
}