代码随想录-刷题第四十二天

0-1背包理论基础

0-1背包问题介绍

0-1背包问题：有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

0-1背包问题可以使用回溯法进行暴力求解，指数级别的时间复杂度。所以才需要动态规划的解法来进行优化！

举例说明：

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？

下面围绕该例子展开动态规划如何求解0-1背包问题。

二维dp数组解决0-1背包问题

依然动规五步曲分析一波。详情见代码随想录

一维dp数组（滚动数组）解决0-1背包问题

对于背包问题其实状态都是可以压缩的。详情见代码随想录

416. 分割等和子集

题目链接：416. 分割等和子集

思路：使用0-1背包问题，只有确定了以下几点，才能够将0-1背包应用到这个问题上来。

背包的体积为sum / 2
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为元素的数值，价值也为元素的数值
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
背包中每一个元素是不可重复放入的。

动规五步曲分析如下：

0-1背包中，dp[j]：容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。套到本题，dp[j]表示背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。

那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满背包之后的重量，所以当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。

也还有装不满的时候：拿输入数组 [1, 5, 11, 5]，举例， dp[7] 只能等于 6，因为只能放进 1 和 5。而dp[6] 就可以等于6了，放进1 和 5，那么dp[6] == 6，说明背包装满了。
0-1背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
初始化：dp[0] = 0，非0下标也都是0就可以。

从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数，那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
遍历顺序：先顺序遍历物品（也就是数组从前往后遍历），背包容量需要倒序遍历。

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
举例推导dp数组

dp[j]的数值一定是小于等于j的。

如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

以输入[1,5,11,5] 为例，如图：

最后dp[11] == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        // dp[j]：容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dp[j]。
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        
		//总和为奇数，不能平分
        if (sum % 2 != 0) return false;
        int target = sum / 2;

        int[] dp = new int[target + 1];
        // 递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
        // 初始化：dp[0] = 0，非0下标也可以都是0。
        // 遍历顺序：物品（也就是数组从前到后遍历），背包容量需要倒序遍历
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 每一个元素一定是不可重复放入，所以从大到小遍历
            for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        
        // 集合中的元素是否正好可以凑成总和的一半
        return dp[target] == target;
    }
}