算法模板之单调栈和单调队列图文详解

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文章目录

📋前言
一. ⛳️单调栈讲解
- 1.1 🔔单调栈的定义
- 1.2 🔔如何维护一个单调栈
- 1.3 🔔单调栈的用途
- 1.4 🌟模板总结(重点)🌟
- 1.5 🔔单调栈的实例练习
二. ⛳️单调队列讲解
- 2.1 🔔单调队列的定义
- 2.2 🔔单调队列的用途
- 2.3 🌟模板总结(重点)🌟
- 2.4 🔔单调栈的实例练习
📝结语

📋前言

💬 hello! 各位铁子们大家好哇，今天作者给大家带来了单调栈和单调队列的算法模板讲解，让我们一起加油进步。
📚 系列专栏：本期文章收录在《算法模板》，大家有兴趣可以浏览和关注，后面将会有更多精彩内容！
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一. ⛳️单调栈讲解

1.1 🔔单调栈的定义

定义：栈内的元素是单调递增或单调递减的栈。

1.2 🔔如何维护一个单调栈

单调递增栈：在保持栈内元素单调递增的前提下，如果栈顶元素大于要入栈的元素，将栈顶元素弹出，将新元素入栈。
单调递减栈：在保持栈内元素单调递减的前提下，如果栈顶元素小于要入栈的元素，则将栈顶元素弹出，将新元素入栈。

1.3 🔔单调栈的用途

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由上图可以看出，对于栈内元素来说：

在栈内左边的数就是数组中左边第一个比自己小的元素；
但元素被弹出时，遇到的就是数组中右边第一个比自己小的元素。

对于将要入栈的元素来说：在对栈进行更新后（即弹出了所有比自己大的元素），此时栈顶元素就是数组中左侧第一个比自己小的元素；

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由上图可以看出，对于栈内元素来说：

在栈内左边的数就是数组中左边第一个比自己大的元素；
但元素被弹出时，遇到的就是数组中右边第一个比自己大的元素。

对于将要入栈的元素来说：在对栈进行更新后（即弹出了所有比自己小的元素），此时栈顶元素就是数组中左侧第一个比自己大的元素；

由此，我们可以看出单调栈的用途是：给定一个序列，指定一个序列中的元素，求解该元素左侧或右侧第一个比自己小或大的元素。

1.4 🌟模板总结(重点)🌟

本文总结的模板是找出每个数左边离它最近的比它大或小的数，右边的可以自行推导（单看模板比较抽象，建议看完下面的题目，在返回来看）

//常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
int tt = 0;//栈顶指针
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    //check函数是判断查找：
    //1. 每个数左边第一个比它小的数
    //2. 还是每个数左边第一个比它大的数
    while (tt && check(stk[tt], i)) tt -- ;
    stk[ ++ tt] = i;
}

1.5 🔔单调栈的实例练习

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题目：
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输入样例：

5
3 4 2 7 5

输出样例：

-1 3 -1 2 2

解题思路：
我们以上面的 3 4 2 7 5 来举例分析，开始遍历 3 这个元素，此时栈为空，那就表明 3 这个元素左侧没有比自身小的元素，将结果 -1 记录一下（或者直接输出）。然后将 3 压入栈中。遍历到 4 时发现 4 大于栈顶的元素 3，表明 4 这个元素左侧第一个比自身小的元素是 3，将结果 3 记录一下（或者直接输出）。遍历到 2 时，发现 2 小于栈顶的元素 4，4 是不可能作为结果输出的，所以需要将栈顶的 4 弹出。弹出之后栈顶的元素就是 3 ，同样 2 仍然小于 3，需要再次将 3 弹出。此时我们发现栈里面已经没有元素了，说明 2 的左侧没有比自身小的元素，将结果 -1 记录一下。然后将 2 压入栈中。其他的元素同理便可以得出，下面给出了动图，这里就不一一讲解了！
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c++代码：

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 100010;
int stk[N], tt;

int main()
{
    int n = 0;
    cin >> n;
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x = 0;
        cin >> x;
        
        //如果栈顶元素大于当前待入栈元素，则出栈
        while(tt && stk[tt] >= x) tt--;
        
        if(tt)
        {
            //栈顶元素就是左侧第一个比它小的元素。
            cout << stk[tt] << " ";
        }
        else 
        {
            //如果栈空，则没有比该元素小的值。
            cout << "-1" << " ";
        }
        
        //将当前元素加入单调栈中
        stk[++tt] = x;
    }
    
    return 0;
}

二. ⛳️单调队列讲解

2.1 🔔单调队列的定义

定义：队列内的元素是单调递增或单调递减的队列。

2.2 🔔单调队列的用途

单调队列的用途：在一个滑动窗口中求最值问题

2.3 🌟模板总结(重点)🌟

本文总结的模板主要是找出滑动窗口中的最大值/最小值（单看模板比较抽象，建议看完下面的题目解析，在返回来看）

//常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值
int hh = 0;//队头 
int tt = -1;//队尾
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
    // 判断队头是否滑出窗口
    while (hh <= tt && check_out(q[hh])) hh ++;
    // 判断队尾元素是否出队列
    while (hh <= tt && check(q[tt], i)) tt --;
    // 将新元素压入队尾
    q[ ++ tt] = i;
}

2.4 🔔单调栈的实例练习

⌈ 在线OJ链接 ⌋

题目：
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输入样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例：

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

解题思路：
在这里我只讲解下求滑动窗口的最小值，最大值的求解可以类比。当滑动窗口向右移动时，我们需要把一个新的元素放入队列中。为了保持队列的性质（此处是单调增），我们需要不断的将新元素与队尾进行比较，如果新元素小于等于队尾元素，那末队尾元素就可以被永久的移除，我们将其弹出队列。不断重复上述过程直到队列为空或者新元素大于队尾元素时，我们将新元素压入队尾中。由于队列中下标对应的元素是严格单调递增的，因此此时的队头下标对应的元素就是滑动窗口的最小值。
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c++代码：

#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 1000010;
//a[N]存放数组元素
//队列q[N]中存的是原数组的下标
int a[N], q[N];
int hh = 0;//队头
int tt = -1;//队尾

int main()
{
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    //每个位置滑动窗口中的最小值
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh++;//若队首出窗口，hh加1
        while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) --tt;//若队尾不单调，tt减1
        q[++tt] = i;//下标加到队尾
        
        if(i >= k-1) cout << a[q[hh]] << " ";
    }
    puts("");
    
    //每个位置滑动窗口中的最大值
    hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) hh++;
        while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) --tt;
        q[++tt] = i;
        if(i >= k-1) cout << a[q[hh]] << " ";
    }
    
    return 0;
}