算法进阶课整理

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题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量和费用，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环，保证费用不会存在负环。

求从 $S$ 到 $T$ 的最大流，以及在流量最大时的最小费用。

输入格式

第一行包含四个整数 $n,m,S,T$。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u,v,c,w$，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$，费用为 $w$。

点的编号从 $1$ 到 $n$。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流和流量最大时的最小费用。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 0 0。

数据范围

$2\le n\le 5000$,

$1\le m\le 50000$,

$0\le c\le 100$,

$-100\le w\le 100$

$S\ne T$

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算法步骤

费用流算法本质上是 EK 算法，只不过将找增广路的 BFS 算法替换为了 SPFA 算法。

1. 找到一条费用最少（最多）的增广路径
2. 更新残量网络
3. 累加最大流量

算法时间复杂度 $O(nmf)$

AC Code

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 5010, M = 100010;
const int INF = 1e9;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], w[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], lim[N];
bool st[N];

inline void add(int a, int b, int c, int d)
{
	e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
	e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
	int hh = 0, tt = 1;
	memset(d, 0x3f, sizeof d);
	memset(lim, 0, sizeof lim);
	q[0] = S, d[S] = 0, lim[S] = INF;

	while (hh != tt)
	{
		int t = q[hh ++ ];
		if (hh == N) hh = 0;
		st[t] = false;
		for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (d[j] > d[t] + w[i] && f[i])
			{
				d[j] = d[t] + w[i];
				pre[j] = i, lim[j] = min(f[i], lim[t]);
				if (!st[j])
				{
					st[j] = true;
					q[tt ++ ] = j;
					if (tt == N) tt = 0;
				}
			}
		}
	}
	return lim[T] > 0;
}

void EK(int& flow, int& cost)
{
	while (spfa())
	{
		int t = lim[T];
		flow += t, cost += t * d[T];
		for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
			f[pre[i]] -= t, f[pre[i] ^ 1] += t;
	}
}

int main()
{
	int a, b, c, d;
	memset(h, -1, sizeof h);

	scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
	while (m -- )
	{
		scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
		add(a, b, c, d);
	}

	int flow = 0, cost = 0;
	EK(flow, cost);
	printf("%d %d\n", flow, cost);

	return 0;
}

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