贝叶斯球
定义几个术语，描述贝叶斯球在一个结点上的动作：
- 通过（pass through）：从当前结点的父结点方向过来的球，可以访问当前结点的任意子结点（父->子）。从当前节点的子结点方向过来的球，可以访问当前结点的任意父结点。（子 -> 父）
- 反弹（bounce back）：从当前结点的父结点方向过来的球，可以访问当前结点的任意父结点。（父->父）从当前节点的子结点方向过来的球，可以访问当前结点的任意子结点。（子 -> 子）
- 截止（block）：当前结点阻止贝叶斯球继续运动
贝叶斯球算法(规则)：假设在贝叶斯网络中有一个按一定规则运动的球。已知中间结点（或结点集合）Z，如果球不能由结点X出发到达结点Y（或者由Y到X），则称X和Y关于Z独立。
规则：
- 未知结点：总能使贝叶斯球通过，同时还可以反弹从其子结点方向来的球。（父 -> 子）|（子-> 父/子）
- 已知结点：反弹从其父结点方向过来的球，截止从其子结点方向过来的球。（父 -> 父）|（子->“截止”）
三种简单的结构，其中灰色球表示已知节点
Tail to tail 模型：
A
⊥
B
∣
C
A\perp B|C
A⊥B∣C
P
(
A
,
B
∣
C
)
=
P
(
A
,
B
,
C
)
P
(
C
)
=
P
(
C
)
P
(
A
∣
C
)
P
(
B
∣
C
)
P
(
C
)
=
P
(
A
∣
C
)
P
(
B
∣
C
)
\begin{aligned} P(A,B|C)& =\frac{P(A,B,C)}{P(C)} \\ &=\frac{P(C)P(A|C)P(B|C)}{P(C)} \\ &=P(A|C)P(B|C) \end{aligned}
P(A,B∣C)=P(C)P(A,B,C)=P(C)P(C)P(A∣C)P(B∣C)=P(A∣C)P(B∣C)
head to tail 模型：
A
⊥
B
∣
C
A\perp B|C
A⊥B∣C
P
(
A
,
B
∣
C
)
=
P
(
A
,
B
,
C
)
P
(
C
)
=
P
(
A
)
P
(
C
∣
A
)
P
(
B
∣
C
)
P
(
C
)
=
P
(
A
,
C
)
P
(
B
∣
C
)
P
(
C
)
=
P
(
A
∣
C
)
P
(
B
∣
C
)
\begin{aligned} P(A,B|C)& =\frac{P(A,B,C)}{P(C)} \\ &=\frac{P(A)P(C|A)P(B|C)}{P(C)} \\ &=\frac{P(A,C)P(B|C)}{P(C)}\\ &=P(A|C)P(B|C) \end{aligned}
P(A,B∣C)=P(C)P(A,B,C)=P(C)P(A)P(C∣A)P(B∣C)=P(C)P(A,C)P(B∣C)=P(A∣C)P(B∣C)
head to head 模型: A ⊥ B A\perp B A⊥B， A ⊥̸ B ∣ C A \not\perp B|C A⊥B∣C
例子：A 和 B 是否关于 F 条件独立？
首先贝叶斯球从A出发滚到F处，F为已知节点，反弹来自父节点的球，无法达到B，所以 A ⊥ B ∣ F A\perp B|F A⊥B∣F
例子：A 和 B 是否关于 C 条件独立？
首先贝叶斯球从A出发可以直接滚到B处，所以 A ⊥̸ B ∣ C A\not\perp B|C A⊥B∣C
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