第四部分一阶逻辑基本概念

目录

主要内容

一阶逻辑命题符号化

一阶逻辑公式及其解释

个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体

谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词

量词——表示数量的词

例1 用0元谓词将命题符号化

例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化

例如

例如

例3 给定解释 I 如下：

例4 判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？

基本要求

主要内容

一阶逻辑命题符号化

个体词、谓词、量词

一阶逻辑命题符号化

一阶逻辑公式及其解释

一阶语言

合式公式

合式公式的解释

永真式、矛盾式、可满足式

~~有些我认为不重要的定义就没放上来了~~

个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体

个体常项 ：具体的事务，用 a , b , c 表示

个体变项 ：抽象的事物，用 x , y , z 表示

个体域 ( 论域 )—— 个体变项的取值范围

有限个体域，如 { a , b , c }, {1, 2}

无限个体域，如 N, Z, R, …

全总个体域 —— 由宇宙间一切事物组成

谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词

谓词常项 如 , F ( a ) ： a 是人

谓词变项 如 , F ( x ) ： x 具有性质 F

n （ n ≥ 1 ）元谓词

一元谓词 ( n =1)—— 表示性质

多元谓词 ( n ≥ 2)—— 表示事物之间的关系

如 , L ( x , y ) ： x 与 y 有关系 L ， L ( x , y ) ： x ≥ y ， …

0 元谓词 —— 不含个体变项的谓词 , 即命题常项

或命题变项

量词——表示数量的词

全称量词 ∀ : 表示所有的 .

∀ x : 对个体域中所有的 x

如 , ∀ xF ( x ) 表示个体域中所有的 x 具有性质 F

∀ x ∀ yG ( x , y ) 表示个体域中所有的 x 和 y 有关系 G

存在量词 ∃ : 表示存在 , 有一个 .

∃ x : 个体域中有一个 x

如 , ∃ xF ( x ) 表示个体域中有一个 x 具有性质 F

∃ x ∃ yG ( x , y ) 表示个体域中存在 x 和 y 有关系 G

∀ x ∃ yG ( x , y ) 表示对个体域中每一个 x 都存在一个 y 使得

x 和 y 有关系 G

∃ x ∀ yG ( x , y ) 表示个体域中存在一个 x 使得对每一个 y ,

x 和 y 有关系 G

例1 用0元谓词将命题符号化

(1) 墨西哥位于南美洲

(2) $^{\sqrt{2}}$ 是无理数仅当 $^{\sqrt{3}}$ 是有理数

(3) 如果 2>3 ，则 3<4

解：在命题逻辑中：

(1) p , p为墨西哥位于南美洲        真命题

(2) p → q , 其中 , p ： 是无理数， q ： 是有理数.        假命题

(3) p → q , 其中， p ： 2>3 ， q ：3<4.         真命题

在一阶逻辑中：

(1) F ( a ) ，其中， a ：墨西哥， F ( x ) ： x 位于南美洲 .

(2) F( $^{\sqrt{2}}$ )→ G( $^{\sqrt{3}}$ ), 其中， F ( x ) ： x 是无理数， G ( x ) ： x 是有理数

(3) F (2, 3) → G (3, 4) ，其中， F ( x , y ) ： x > y ， G ( x , y ) ： x < y

例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化

(1) 没有不呼吸的人

(2) 不是所有的人都喜欢吃糖

解

(1) F ( x ): x 是人 , G ( x ): x 呼吸

¬∃ x ( F ( x ) ∧¬ G ( x ))

∀ x ( F ( x ) → G ( x ))

(2) F ( x ): x 是人 , G ( x ): x 喜欢吃糖

¬∀ x ( F ( x ) → G ( x ))

∃ x ( F ( x ) ∧¬ G ( x ))

定义 4.1 在公式 ∀ xA 和 ∃ xA 中，称 x 为 指导变元 ， A 为相应 量词的 辖域 . 在 ∀ x 和 ∃ x 的辖域中， x 的所有出现都称为 约束出现， A 中不是约束出现的其他变项均称为是 自由出现 的 .

例如

∀ x ( F ( x , y ) → G ( x , z )) ， x 为指导变元， ( F ( x , y ) → G ( x , z )) 为

∀ x 的辖域， x 的两次出现均为约束出现， y 与 z 均为自由出现

又如

∃ x ( F ( x , y , z ) →∀ y ( G ( x , y ) ∧ H ( x , y , z ))), ∃ x 中的 x 是指导变元 ,

辖域为 ( F ( x , y , z ) →∀ y ( G ( x , y ) ∧ H ( x , y , z ))). ∀ y 中的 y 是指导变元 , 辖域为 ( G ( x , y ) ∧ H ( x , y , z )). x 的 3 次出现都是约束出现 , y 的第一次出 现是自由出现 , 后 2 次是约束出现 , z 的 2 次出现都是自由出现

定义4.2 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.

例如

∀ x ∀ y ( F ( x ) ∧ G ( y ) → H ( x , y )) 为闭式，

而 ∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x , y )) 不是闭式

例3 给定解释 I 如下：

(a) 个体域 D =R

(b) $\bar{a}$ = 0

(c) $\bar{f}$ ( x , y ) = x + y , g ( x , y ) = x ⋅ y

(d) $\bar{F}$ ( x , y ): x = y

写出下列公式在 I 下的解释 , 并指出它的真值 .

(1) ∃ xF ( f ( x , a ), g ( x , a ))

        ∃x ( x +0= x ⋅0)         真

(2) ∀ x ∀ y ( F ( f ( x , y ), g ( x , y )) → F ( x , y ))

        ∀x ∀ y ( x + y = x ⋅ y → x = y)         假

(3) ∀ xF ( g ( x , y ), a )

        ∀x ( x ⋅ y=0)         真值不定 , 不是命题

定理 4.1 闭式在任何解释下都是命题

注意 : 不是闭式的公式在解释下可能是命题 , 也可能不是命题 .

定义 4.3 若公式 A 在任何解释下均为真 , 则称 A 为 永真式 ( 逻辑 有效式 ). 若 A 在任何解释下均为假 , 则称 A 为 矛盾式 ( 永假式 ). 若至少有一个解释使 A 为真 , 则称 A 为 可满足式

几点说明：

永真式为可满足式，但反之不真

判断公式是否是可满足的 ( 永真式 , 矛盾式 ) 是不可判定的

定义 4.4 设 A 0 是含命题变项 p 1 , p 2 , …, p n 的命题公式， A 1 , A 2 , …, A n 是 n 个谓词公式，用 A i (1 ≤ i ≤ n ) 处处代替 A 0 中的 p i ， 所得公式 A 称为 A 0 的 代换实例 .

例如

F ( x ) → G ( x ), ∀ xF ( x ) →∃ yG ( y ) 等都是 p → q 的代换实例 .

定理 4.2 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例 都是矛盾式 .

例4 判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？

(1) ∀ xF ( x ) → ( ∃ x ∃ yG ( x , y ) →∀ xF ( x ))

重言式 p → ( q → p ) 的代换实例，故为永真式 .

(2) ¬ ( ∀ xF ( x ) →∃ yG ( y )) ∧∃ yG ( y )

矛盾式 ¬ ( p → q ) ∧ q 的代换实例，故为永假式 .

(3) ∀ x ( F ( x ) → G ( x ))

解释 I 1 : 个体域 N, F ( x ): x >5, G ( x ): x >4, 公式为真

解释 I 2 : 个体域 N, F ( x ): x <5, G ( x ): x <4, 公式为假

结论 : 非永真式的可满足式