[PyTorch][chapter 8][李宏毅深度学习][Back propagation]

前言：

反向传播算法(英:Backpropagation algorithm，简称:BP算法)是一种监督学习算法，常被用来训练多层感知机。它用于计算梯度计算中，降低误差。

链式法则
模型简介（Model）
损失函数,梯度
手写例子
min-batch

一链式法则

链式法则是反向传播算法里面的核心。

case1： $y=g(x),z=h(y)$ , x,y,z 都是scalar

$\frac{dz }{dx}=\frac{dz }{dy}\frac{dy }{dx}$

case2: $x=g(s),y=h(s),z=k(x,y)$ ,s,x,y,z 都是scalar

$\frac{dz}{ds}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{ds}+\frac{dz}{dx}\frac{dx}{ds}$

case3: x,y,z 都是向量vector

$x\rightarrow y\rightarrow z$

$\frac{dz }{dx}=\frac{dz }{dy}\frac{dy }{dx}$

二模型（Model)

以常用的网络模型DNN 为例：

激活函数为 $\sigma$

总的层数为 L

三损失函数,梯度

3.1 损失函数

$J(w,b)=||a^{L}-y||_2^{2}$

3.2 梯度更新

梯度计算分为两步：

Forward pass, Backward pass

a Forward pass

假设 $\delta^{l}=\frac{\partial J}{\partial z^l}$ :

利用微分和迹的关系很容易得到

b Backward pass

假设为最后一层L

$\delta^{L}=(\frac{\partial a^L}{\partial z^L})^T\frac{\partial J}{\partial a^L}$

$=diag(\sigma^{'}(z^{L}))(a^{L}-\hat{y})$

   $=(a^{L}-\hat{y})\odot \sigma{'}(z^{L})$

我们用数学归纳法，第L层的 $\delta^{L}$ 已经求出，假设第l+1层的 $\delta^{l+1}$ 已经求出来了，那么我们如何求出第l层的 $\delta^{l}$ 呢？

   $\delta^{l}=\frac{\partial J}{\partial z^{l}}$

   $=(\frac{\partial z^{l+1}}{\partial z^{l}})^T\frac{\partial J}{\partial z^{l+1}}$

   $=(\frac{\partial z^{l+1}}{\partial a^l}\frac{\partial a^{l}}{\partial z^l})^T \delta^{l+1}$

   $=(diag(\sigma^{'}(z^l)(w^{l+1})^T)\delta^{l+1}$

   $=(w^{l+1})^T\delta^{t+1}\odot \sigma^{'}(z^l)$

四简单DNN 网络例子

4.1 说明：

这里面随机生成5张图形，分别对应手写数字1,2,3,4,5。

简单的了解一下如何快速搭建一个DNN Model, 梯度如何计算，更新的.

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Dec 15 17:21:35 2023

@author: chengxf2
"""

import torch 
from torch import nn
from torch import optim


class DNN(nn.Module):
    
    '''
    它是一个序列容器，是nn.Module的子类。 
    `nn.Sequential` 中的层是有顺序的，而且严格按照其顺序执行
    相邻两个层连接必须保证前一个层的输出与后一个层的输入相匹配。
    '''
    def __init__(self):
        
        super(DNN, self).__init__()
        
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(in_features=28*28, out_features=500),
            nn.Sigmoid(),
            nn.Linear(in_features=500, out_features=10),
            nn.Sigmoid()
            )

    def forward(self, input):
        
        output = self.net(input)
        
        return output


def train():
    
    device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")
    
    model = DNN()
    criteon = torch.nn.CrossEntropyLoss(reduction='mean')
    optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, momentum=0.9)
    batch_size= 5
    data = torch.rand((batch_size,28*28))
    epochs = 2
    target = torch.tensor([0,1,2,3,4])
    target = target.to(device)
    
    for epoch in range(epochs):
        
        yHat = model(data)
        loss = criteon(yHat, target)
        loss.backward()
        print("\n loss ",loss)
        
        optimizer.step()
        

if __name__ == "__main__":
    train()