商代数与积代数

商代数

R R R使 A = < S , ∗ 1 , ∗ 2 , ⋯   , ∗ n > A = \left<S, *_1, *_2,\cdots, *_n\right> A=S,1,2,,n上的同余关系,则 R R R使 S S S上的等价关系,因此 R R R可诱导出 S S S的一个划分 S / R = { [ a ] R ∣ a ∈ S } S/ R = \left\{\left[a\right]_R | a \in S\right\} S/R={[a]RaS}.对于运算 ∗ i *_i i,定义 S / R S/R S/R上的同阶运算 ⊛ i \circledast_i i为: ∀ [ a 1 ] R , [ a 2 ] R , ⋯   , [ a n i ] R ∈ S / R \forall \left[a_1\right]_R, \left[a_2\right]_R,\cdots, \left[a_{n_i}\right]_R \in S / R [a1]R,[a2]R,,[ani]RS/R,
⊛ i ( [ a 1 ] R , [ a 2 ] R , ⋯   , [ a n i ] R ) = [ ∗ i ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n i ) ] R \circledast_i\left(\left[a_1\right]_R,\left[a_2\right]_R, \cdots,\left[a_{n_i}\right]_R\right) = \left[*_i\left(a_1,a_2,\cdots, a_{n_i}\right)\right]_R i([a1]R,[a2]R,,[ani]R)=[i(a1,a2,,ani)]R
⊛ i \circledast_i i是良定的,因为运算结果并不依赖于各等价类的代表元的选取:

[ a k ] R = [ b k ] R \left[a_k\right]_R = \left[b_k\right]_R [ak]R=[bk]R, 则 a k R b k a_k R b_k akRbk,因为 R R R A A A上的同余关系,所以
∗ i ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n i ) R ∗ i ( b 1 , b 2 , ⋯   , b n i ) *_i\left(a_1,a_2,\cdots, a_{n_i}\right) R *_i\left(b_1,b_2,\cdots, b_{n_i}\right) i(a1,a2,,ani)Ri(b1,b2,,bni),故
[ ∗ i ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n i ) ] R = [ ∗ i ( b 1 , b 2 , ⋯   , b n i ) ] R \left[*_i\left(a_1,a_2,\cdots, a_{n_i}\right)\right]_R = \left[*_i\left(b_1,b_2,\cdots, b_{n_i}\right)\right]_R [i(a1,a2,,ani)]R=[i(b1,b2,,bni)]R

R R R是代数系统 A = < S , ∗ 1 , ∗ 2 , ⋯   , ∗ n > A=\left<S, *_1, *_2,\cdots, *_n\right> A=S,1,2,,n删的同余关系,则称代数系统
A / R = < S / R , ⊛ 1 , ⊛ 2 , ⋯   , ⊛ n > A/R = \left<S/R, \circledast_1,\circledast_2,\cdots, \circledast_n\right> A/R=S/R,1,2,,n A A A关于 R R R商代数

定理1: R R R是代数系统 A = < S , ∗ 1 , ∗ 2 , ⋯   , ∗ n > A = \left<S, *_1, *_2,\cdots, *_n\right> A=S,1,2,,n上的同余关系,函数 f : S → S / R f:S\to S/R f:SS/R定义为
∀ a ∈ S , f ( a ) = [ a ] R \forall a \in S, f\left(a\right) = \left[a\right]_R aS,f(a)=[a]R,则 f f f是从 A A A到商代数 A / R A/R A/R的满同态,称为自然同态

证明:
∀ i ∈ N ( 1 ≤ i ≤ n ) , ∀ a 1 , a 2 , ⋯   , a n i ∈ S \forall i \in \mathbb{N}\left(1\le i \le n\right), \forall a_1, a_2,\cdots, a_{n_i} \in S iN(1in),a1,a2,,aniS
f ( ∗ i ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n i ) ) = [ ∗ i ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n i ) ] R = ⊛ i ( [ a 1 ] R , [ a 2 ] R , ⋯   , [ a n i ] R ) = ⊛ i ( f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , ⋯   , f ( a n i ) ) \begin{aligned} f\left(*_i\left(a_1,a_2,\cdots, a_{n_i}\right)\right) &= \left[*_i\left(a_1,a_2,\cdots, a_{n_i}\right)\right]_R\\ &=\circledast_i\left(\left[a_1\right]_R,\left[a_2\right]_R, \cdots,\left[a_{n_i}\right]_R\right)\\ &=\circledast_i\left(f\left(a_1\right),f\left(a_2\right), \cdots,f\left(a_{n_i}\right)\right) \end{aligned} f(i(a1,a2,,ani))=[i(a1,a2,,ani)]R=i([a1]R,[a2]R,,[ani]R)=i(f(a1),f(a2),,f(ani))
所以 f f f A A A A / R A/R A/R的同态。
∀ x ∈ S / R , ∃ a ∈ S \forall x \in S/R,\exists a \in S xS/R,aS,使得 x = [ a ] R x = \left[a\right]_R x=[a]R,于是 f ( a ) = [ a ] R = x f\left(a\right) = \left[a\right]_R = x f(a)=[a]R=x,所以 f f f满射。故 f f f A A A A / R A/R A/R的满同态
由于 f f f是从 A A A A / R A/R A/R的满同态,因此 A A A的主要代数性质再其商代数 A / R A/R A/R中仍然保持

定理2: h h h是从 A = < S , ∗ 1 , ∗ 2 , ⋯   , ∗ n > A=\left<S, *_1, *_2,\cdots, *_n\right> A=S,1,2,,n A ′ = < S ′ , ∗ 1 ′ , ∗ 2 ′ , ⋯   , ∗ n ′ > A^{\prime}=\left<S^{\prime}, *_1^{\prime}, *_2^{\prime},\cdots, *_n^{\prime}\right> A=S,1,2,,n的同态
R R R A A A上由 h h h诱导的同余关系, f f f是从 A A A到商代数 A / R A/R A/R的自然同态,那么存在从 A / R A/R A/R h ( A ) h\left(A\right) h(A)的同构 g g g,使得 g ∘ f = h g\circ f = h gf=h

证明:
在这里插入图片描述

g : S / R → h ( S ) , [ a ] R ↦ h ( a ) g:S/R \to h\left(S\right), [a]_R \mapsto h(a) g:S/Rh(S),[a]Rh(a)
1. g g g是良定的, ∀ [ a ] R , [ b ] R ∈ S / R \forall \left[a\right]_R, \left[b\right]_R \in S / R [a]R,[b]RS/R,若 [ a ] R = [ b ] R \left[a\right]_R = \left[b\right]_R [a]R=[b]R,则 a R b aRb aRb,所以 h ( a ) = h ( b ) h\left(a\right) = h\left(b\right) h(a)=h(b)
2. g g g是单射。 ∀ [ a ] R , [ b ] R ∈ S / R \forall \left[a\right]_R, \left[b\right]_R\in S/R [a]R,[b]RS/R,若 g ( [ a ] R ) = g ( [ b ] R ) g\left(\left[a\right]_R\right) = g\left(\left[b\right]_R\right) g([a]R)=g([b]R),则 h ( a ) = h ( b ) h\left(a\right) = h\left(b\right) h(a)=h(b),所以 a R b , [ a ] R = [ b ] R aRb, \left[a\right]_R= \left[b\right]_R aRb,[a]R=[b]R
3. g g g是满射, ∀ x ∈ h ( S ) , ∃ a ∈ S \forall x \in h\left(S\right),\exists a \in S xh(S),aS,使得 h ( a ) = x h\left(a\right) = x h(a)=x,所以
g ( [ a ] R ) = h ( a ) = x g\left(\left[a\right]_R\right) = h\left(a\right) = x g([a]R)=h(a)=x
4. g g g是同态, ∀ i ∈ N ( 1 ≤ i ≤ n ) , ∀ [ a 1 ] R , [ a 2 ] R , ⋯   , [ a n i ] R ∈ S / R \forall i \in \mathbb{N}\left(1\le i \le n\right) ,\forall \left[a_1\right]_R,\left[a_2\right]_R,\cdots, \left[a_{n_i}\right]_R \in S/ R iN(1in),[a1]R,[a2]R,,[ani]RS/R

g ( ⊛ i ( [ a 1 ] R , [ a 2 ] R , ⋯   , [ a n i ] R ) ) = g ( [ ∗ i ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n i ) ] R ) = h ( ∗ i ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n i ) ) = ∗ i ′ ( h ( a 1 ) , h ( a 2 ) , ⋯   , h ( a n i ) ) = ∗ i ′ ( g ( [ a 1 ] R ) , g ( [ a 2 ] R ) , ⋯   , g ( [ a n i ] R ) ) \begin{aligned} &g\left(\circledast_i\left(\left[a_1\right]_R,\left[a_2\right]_R,\cdots, \left[a_{n_i}\right]_R\right)\right)\\ =&g\left(\left[*_i\left(a_1,a_2,\cdots, a_{n_i}\right)\right]_R\right)\\ =&h\left(*_i\left(a_1,a_2,\cdots, a_{n_i}\right)\right)\\ =&*_i^{\prime}\left(h\left(a_1\right), h\left(a_2\right),\cdots, h\left(a_{n_i}\right)\right)\\ =&*_i^{\prime}\left(g\left(\left[a_1\right]_R\right), g\left(\left[a_2\right]_R\right), \cdots, g\left(\left[a_{n_i}\right]_R\right)\right) \end{aligned} ====g(i([a1]R,[a2]R,,[ani]R))g([i(a1,a2,,ani)]R)h(i(a1,a2,,ani))i(h(a1),h(a2),,h(ani))i(g([a1]R),g([a2]R),,g([ani]R))
g g g是从 A / R A/R A/R h ( A ) h\left(A\right) h(A)的同构
并且 ∀ a ∈ S , g ∘ f ( a ) = g ( f ( a ) ) = g ( [ a ] R ) = h ( a ) \forall a \in S, g\circ f\left(a\right) = g\left(f\left(a\right)\right) = g\left(\left[a\right]_R\right) = h\left(a\right) aS,gf(a)=g(f(a))=g([a]R)=h(a),故 g ∘ f = h g\circ f = h gf=h

推论:设 h h h是从 A A A A ′ A^{\prime} A的满同态, R R R A A A上由 h h h诱导的同余关系,则
A / R ≅ A ′ A/R \cong A^{\prime} A/RA

积代数

A i = < S i , ∗ i 1 , ∗ i 2 , ⋯   , ∗ i n > ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ) A_i=\left<S_i, *_{i1}, *_{i2},\cdots, *_{in}\right>\left(i=1,2,\cdots, m\right) Ai=Si,i1,i2,,in(i=1,2,,m)为同型的代数系统,
A 1 , A 2 , ⋯   , A m A_1,A_2,\cdots, A_m A1,A2,,Am积代数 × i = 1 m A i \times_{i=1}^{m}A_i ×i=1mAi定义为代数系统 < × i = 1 m S i , ∗ 1 , ∗ 2 , ⋯   , ∗ n > \left<\times_{i=1}^{m} S_i,*_1,*_2,\cdots, *_n\right> ×i=1mSi,1,2,,n,其中运算 ∗ j *_j j定义如下:
∀ < a 11 , a 21 , ⋯   , a m 1 > , < a 12 , a 22 , ⋯   , a m 2 > , ⋯ < a 1 n j , a 2 n j , ⋯   , a m n j > ∈ S 1 × S 2 × ⋯ × S m \forall \left<a_{11}, a_{21},\cdots, a_{m1}\right>, \left<a_{12}, a_{22},\cdots, a_{m2}\right>,\cdots \left<a_{1n_{j}}, a_{2n_{j}},\cdots, a_{mn_{j}}\right>\in S1\times S_2\times \cdots \times S_m a11,a21,,am1,a12,a22,,am2,a1nj,a2nj,,amnjS1×S2××Sm,
∗ j ( ⟨ a 11 , a 21 , ⋯   , a m 1 ⟩ , ⟨ a 12 , a 22 , ⋯   , a m 2 ⟩ , ⋯   , ⟨ a 1 n j , a 2 n j , ⋯   , a m n j ⟩ ) = ⟨ ∗ 1 j ( a 11 , a 12 , ⋯   , a 1 n j ) , ∗ 2 j ( a 21 , a 22 , ⋯   , a 2 n j ) , ⋯   , ∗ m j ( a m 1 , a m 2 , ⋯   , a m n j ) ⟩ . \begin{aligned} & *_j\left(\left\langle a_{11}, a_{21}, \cdots, a_{m 1}\right\rangle,\left\langle a_{12}, a_{22}, \cdots, a_{m 2}\right\rangle, \cdots,\left\langle a_{1 n_j}, a_{2 n_j}, \cdots, a_{m n_j}\right\rangle\right) \\ & =\left\langle *_{1 j}\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n_j}\right), *_{2 j}\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n_j}\right), \cdots,\right. \\ & \left.\quad *{ }_{m j}\left(a_{m 1}, a_{m 2}, \cdots, a_{m n_j}\right)\right\rangle . \end{aligned} j(a11,a21,,am1,a12,a22,,am2,,a1nj,a2nj,,amnj)=1j(a11,a12,,a1nj),2j(a21,a22,,a2nj),,mj(am1,am2,,amnj).

定理: A i = < S i , ∗ i , + i > A_i = \left<S_i, *_i, +_i\right> Ai=Si,i,+i为同型的代数系统, ∗ i *_i i + i +_i +i为二元运算,积代数 × i = 1 m A i = < × i = 1 m S i , ∗ , + > \times_{i=1}^{m}A_i=\left<\times_{i=1}^{m}S_i, *, +\right> ×i=1mAi=×i=1mSi,,+

(1)若 ∗ i *_i i可交换,则 ∗ * 也是可交换的
(2)若 ∗ i *_i i是可结合的,则 ∗ * 也是可结合的
(3)若 ∗ i *_i i关于 + i +_i +i是可分配的,则 ∗ * 关于 + + +也是可分配的
(4)若 e i e_i ei是关于 ∗ i *_i i的单位元,则 < e 1 , e 2 , ⋯   , e m > \left<e_1,e_2,\cdots, e_m\right> e1,e2,,em是关于 ∗ * 的单位元
(5)若 0 i 0_i 0i是关于 ∗ i *_i i的零元,则 < 0 1 , 0 2 , ⋯   , 0 m > \left<0_1,0_2,\cdots, 0_m\right> 01,02,,0m是关于 ∗ * 的零元
(6)若 a i ∈ S i a_i\in S_i aiSi关于 ∗ i *_i i由逆元 a − 1 a^{-1} a1,则 < a 1 , a 2 , ⋯   , a m > \left<a_1,a_2,\cdots, a_m\right> a1,a2,,am关于 ∗ * 由逆元 < a 1 − 1 , a 2 − 1 , ⋯   , a m − 1 > \left<a_1^{-1},a_2^{-1},\cdots, a_m^{-1}\right> a11,a21,,am1

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