一、基础概念
- DP的思想：
- 把问题分成子问题，前面子问题的解决结果被后面的子问题使用
- DP与分治法的区别：
- 分治法把问题分成独立的子问题，各个子问题能独立解决
- 自顶向下
- DP前面子问题的解决结果被后面的子问题使用，子问题间不相互独立
- 自底向上
- 求解DP问题的步骤：
- 1、定义状态
- 2、状态转移
- 确定状态转移方程
- 3、算法实现
- DP问题分类：
- 1、线性DP
- 2、非线性DP
- DP问题解决方法：
- 顺推
- 逆推
- DP可以解决的问题需满足三个条件：
- 1、问题有最优解
- 2、有大量子问题重复（DP可以把求解的结果存起来，后续用到时直接查询）
- 3、当前阶段的求解只与前面的阶段有关，与之后的阶段无关
二、爬楼梯（一维）
假设有级楼梯，每次只能爬1级或2级，有多少种方法可以爬到楼梯的顶部？
分析：
- 在爬上第 i 级楼梯之前 ，爬楼梯的人一定站在第 i-1 级楼梯或第 i-2 级楼梯上，两种情况
- 所以爬上第 i 级楼梯的方法等于两种走法之和（站在第i-1级楼梯，站在第i-2级楼梯上）
- 此处涉及到应用组合数学的加法规则：（“或”）
- 如果一个事件以 a 种方式发生，第二个事件以 b 种（不同）方式发生，那么存在 a+b 种方式
- dp[i]表示爬上第i级楼梯有多少种走法
- dp[1]=1
- dp[2]=2
- dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]，i>2（状态转移方程）
1、辅助数组
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)
package no1_1;
import java.util.Scanner;
public class example {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int n=sc.nextInt();
int[] dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for(int i=3;i<=n;i++) {
dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1];
}
System.out.println(dp[n]);
}
}
2、只使用两个变量记录前两项的值
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
package no1_1;
import java.util.Scanner;
public class example {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int n=sc.nextInt();
int val1=1,val2=2,result=0;;
for(int i=3;i<=n;i++) {//val1：前一项；val2：当前项
result=val1+val2;
val1=val2;
val2=result;
}
System.out.println(result);
}
}
三、拿金币（二维）
有一个N x N的方格,每一个格子都有一些金币,只要站在格子里就能拿到里面的金币。你站在最左上角的格子里,每次可以从一个格子走到它右边或下边的格子里。请问如何走才能拿到最多的金币。
分析：
当前位的最大金币数，需要上一位也拿到最大金币数
package no1_1;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
//根据输入，把金币放入数组中对应的位置
int[][] goldCoins = new int[n + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
goldCoins[i][j] = scanner.nextInt();
}
}
//该数组存储的是走到当前位置所拿的最多金币数
int[][] sum = new int[n + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
//当前位的最大金币数，需要上一位也拿到最大金币数，
//该循环看的是sum[i][j]，一直是往前走的，不要被i-1和j-1误了眼，觉得是倒退着走，i-1和j-1只是判断上一步是应该在哪里
if (sum[i][j - 1] > sum[i - 1][j]) {
sum[i][j] = sum[i][j - 1] + goldCoins[i][j];
} else {
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + goldCoins[i][j];
}
}
}
System.out.println(sum[n][n]);
}
}
四、印章（二维）
共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。
分析：
- i：买的印章数
- j：凑齐的印章数
- dp[i][j]：买了 i 个印章，凑齐了 j 种的概率
- 概率 p=1 / n
- 情况一：
- i < j
- 不可能凑齐，dp[i][j]=0
- 情况二：
- j == 1
- 买了 i 张印章，凑齐的印章为图案1时，概率为
- 但有 n 种印章图案，总的概率等于每个种图案的概率和（应用组合数学的加法规则 ）
- 即
，而 p = 1 / n，所以
- 情况三：
i >= j
为下面两种情况相加（应用组合数学的加法规则）
1、买了 i - 1 张 已经得到了 j 种，最后一张随便
dp[i] [j] = dp[i-1] [j] * ( j / n )
dp[i-1] [j]是买了 i - 1 张 已经得到了 j 种的概率
j / n是最后一张随便哪种的概率
2、买了 i - 1 张 只得到了 j - 1 种，最后一张是第 j 种
dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] * （n-（j-1）） / n
dp[i-1] [j-1]是买了 i - 1 张 只得到了 j - 1 种的概率
（n-（j-1）） / n是买最后一张是第 j 种的概率
package no1_1;
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int n=sc.nextInt();
int m=sc.nextInt();
double[][] array=new double[m+1][n+1];
System.out.printf("%.4f",probability(array,n,m));//动态规划
}
public static double probability(double[][] array,int n,int m) {
double p=1.0/n;
for(int i=1;i<=m;i++) {//买的印章数
for(int j=1;j<=n;j++) {//凑齐的印章数
if(i<j) {//买的印章数少于种类数，不可能凑齐
array[i][j]=0;
}else if(j==1) {//只凑齐了一种
array[i][j]=Math.pow(p, i-1);
}else {
//为下面两种情况相加，（应用组合数学的加法规则）
//1、买了 i - 1 张 已经得到了 j 种，最后一张随便， dp[i] [j] = dp[i-1] [j] * ( j / n )
//2、买了 i - 1 张 只得到了 j - 1 种，最后一张是第 j 种， dp[i] [j] = dp[i-1] [j-1] * (n-j+1) / n
array[i][j]=array[i-1][j]*(j*p)+array[i-1][j-1]*((n-j+1)*p);
}
}
}
return array[m][n];
}
}
