SCMA: Sparse Code Multiple Access

SCMA基本原理

我们考虑一个同步（synchronous）的SCMA系统，

• 含1个基站（Base Station, BS）；
• $J$个用户（so called layers）；
• K个OFDM子载波（so called REs）。

用户$j$发送的码字${\mathbf{x}}_j\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$，其中${\mathbf{x}}_j$是从集合${\mathbf{C}}_j$中选取的，集合${\mathbf{C}}_j$一共有$M_j$个码字，因此用户$j$发送一个码字可以传输${\log }_2{M}_j$个比特。注意到SCMA的码字是稀疏的，即仅有$N_j\ll K$个RE上的符号是非零的，其它都为零，我们把$N_j$称为码字的稀疏度（codebook sparsity degree）。

SCMA的关键特征：给定用户$j$对应的所有码字，这些码字非零元素对应的位置都是一致的，且相较于其他用户是唯一的。（The sparsity key of SCMA that all codewords corresponding to the $j^{\text{th}}$ SCMA layer (user) have a unique location of nonzero entries at the same $(K-N_j)$ positions.）

Note：A regular SCMA system is defined by
$$\begin{gathered} N_j=N,1\le j\le J \\ {M}_j=M,1\le j\le J \end{gathered}$$

一个regular SCMA系统如下图所示。其中，码字的维数$K=4$，码字空间大小$M_j=4,\forall j$，用2个RE来承载符号，即$N_j=2,\forall j$。

Define

• The maximum degree of user superposition on a given RE: $d_f$
• Overloading factor is defined by the ratio of number of total users to number of REs: $\lambda =\frac{J}{K}$

从上图可以看出，$d_f=3,\lambda =150\%$。

我们使用数学语言来描述SCMA encoder。SCMA encoder可以被定义为映射： f : { 0 , 1 } log ⁡ 2 M → X f: \{0,1\}^{\log_2 M} \rightarrow \mathcal X f:{0,1}log2​M→X，即$\mathbf{x}=f(\mathbf{b})$，其中$\mathcal{X}\subset {\mathbb{C}}^K$且$|\mathcal{X}|=M$。$\mathbf{x}\in \mathcal{X}$是一个稀疏向量，只有$K-N$个非零元素。指定$\mathbf{c}$为$N$维的复星座点（complex constellation point），对应的星座集合为$\mathcal{C}\subset {\mathbb{C}}^N$，那么从二进制向量到高维星座点的映射为 g : { 0 , 1 } log ⁡ 2 M → C g: \{0,1\}^{\log_2 M} \rightarrow \mathcal C g:{0,1}log2​M→C，即$\mathbf{c}=g(\mathbf{b})$，那么SCMA encoder可以表示为
$$f:\equiv \mathbf{V}\mathbf{c}=\mathbf{V}g(\mathbf{b})$$

其中$\mathbf{V}$为映射矩阵，将在后面介绍。

BS上行接收信号可以表示为：
$$\mathbf{y}=\sum _{j=1}^J{\mathbf{H}}_j{\mathbf{x}}_j+\mathbf{n}\in {\mathbb{C}}^{K\times 1}$$

其中${\mathbf{H}}_j=\text{diag}({\mathbf{h}}_j)$，且${\mathbf{h}}_j=(h_{j,1},h_{j,2},\cdots ,h_{j,K}{)}^T$是用户$k$的信道向量，$\mathbf{n}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,N_0{\mathbf{I}}_K)$。

我们可以用两种方式来描述SCMA系统：
（1）因子图矩阵（factor graph matrix）
SCMA系统可以被一个$K\times J$的因子矩阵 F = ( f 1 , f 2 , ⋯   , f J ) ∈ { 0 , 1 } K × J \boldsymbol F=(\boldsymbol f_1, \boldsymbol f_2, \cdots, \boldsymbol f_J) \in \{0,1\}^{K \times J} F=(f1​,f2​,⋯,fJ​)∈{0,1}K×J表征。$\mathbf{F}$的每一列${\mathbf{f}}_j$定义了用户$j$发送码字对应的非零位置。
$$\mathbf{F}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 0& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\\ 1& 0& 0& 1& \begin{array}{cc}1& 0\end{array}\\ 0& 1& 0& 1& \begin{array}{cc}0& 1\end{array}\\ 0& 0& 1& 0& \begin{array}{cc}1& 1\end{array}\end{array}\right]$$

（2）用户$j$的映射矩阵
我们用 V = { V j , ∀ j } \mathcal V=\{\boldsymbol V_j, \forall j\} V={Vj​,∀j}来表征SCMA系统，且${\mathbf{f}}_j=\text{diag}({\mathbf{V}}_j{\mathbf{V}}_j^T)$，其中${\mathbf{V}}_j$是用户$j$将发送符号映射到RE上的映射矩阵，例如图中第1个用户的映射矩阵为
$${\mathbf{V}}_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

上图对应的因子图为

SCMA映射矩阵的构造

映射矩阵的构造准则如下：

1. V j ∈ { 0 , 1 } K × N \boldsymbol V_j \in \{0,1\}^{K \times N} Vj​∈{0,1}K×N;
2. ${\mathbf{V}}_j\ne {\mathbf{V}}_i,\forall i\ne j$
3. ${\mathbf{V}}_j^{[\oslash ]}={\mathbf{I}}_N$, where${\mathbf{V}}_j^{[\oslash ]}$ is ${\mathbf{V}}_j$ after removing its all-zero rows.

基于上述构造准则的解是唯一的，简单地可以解释为是一个排列组合问题，即往${\mathbf{I}}_N$中插入$N-K$个全0的行。不难看出，该解具有以下性质：

1. $J=\left(\begin{array}{c}K\\ N\end{array}\right)$
2. $d_F=\left(\begin{array}{c}K-1\\ N-1\end{array}\right)=\frac{JN}{K}$
3. $\lambda =\frac{J}{K}=\frac{d_f}{N}$
4. $\max (0,2N-K)\le l\le N-1$ where l is the number of the overlapping elements of any two distinct ${\mathbf{f}}_j$ vectors.

SCMA与LDS-CDMA的区别

LDS is a special simplified case of the SCMA structure with QAM symbol repetition over multiple tones/subcarriers.

引用

[1] L. Dai, B. Wang, Y. Yuan, S. Han, I. Chih-lin and Z. Wang, “Non-orthogonal multiple access for 5G: solutions, challenges, opportunities, and future research trends,” in IEEE Communications Magazine, vol. 53, no. 9, pp. 74-81, September 2015, doi: 10.1109/MCOM.2015.7263349.
[2] H. Nikopour and H. Baligh, “Sparse code multiple access,” 2013 IEEE 24th Annual International Symposium on Personal, Indoor, and Mobile Radio Communications (PIMRC), London, UK, 2013, pp. 332-336, doi: 10.1109/PIMRC.2013.6666156.
[3] M. Rebhi, K. Hassan, K. Raoof and P. Chargé, “Sparse Code Multiple Access: Potentials and Challenges,” in IEEE Open Journal of the Communications Society, vol. 2, pp. 1205-1238, 2021, doi: 10.1109/OJCOMS.2021.3081166.