图的搜索（二）：贝尔曼-福特算法、狄克斯特拉算法和A*算法

贝尔曼-福特算法

贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法是一种在图中求解最短路径问题的算法。最短路径问题就是在加权图指定了起点和终点的前提下，寻找从起点到终点的路径中权重总和最小的那条路径。

设置A为起点，G为终点。

首先设置各个顶点的初始权重 :起点为 0,其他顶点为无穷大(∞)。这个权重表示的是从 A 到该顶点的最短路径的暂定距离。随着计算往下进行,这个值会变得越来越小,最终收敛到正确的数值。

选中候补顶点，分别计算这条边从一端到另一端的权重，计算方法为：“顶点原本的权重+边的权重”

计算权重，如果计算结果小于顶点的值，就更新这个值。

如图，计算A到B的权重：顶点 B 的权重是无穷大，比 9 大，所以把它更新为 9。更新时需要记录计算的是从哪个顶点到该顶点的路径。

再次计算B到A的权重：B 的权重为 9，从 B 到 A 的权重便为 9+9=18。与顶点 A 现在的值 0 进行比较，因为现在的值更小，所以不更新。

A到C的路径计算同理。接下来计算B到C的路径。

在进行B-C计算时，发现A-C-B的路径比A-B的路径更短，于是更新如下：

接着对所有的边进行更新操作

更新完所有的边后,第 1 轮更新就结束了。接着,重复对所有边的更新操作,直到权重不能被更新为止。

第二轮更新后，顶点 B 的权重从 8 变成了 7，顶点 E 的权重从 9 变成了 8。接着进行第三轮更新。发现第三轮更新后，所有顶点的权重不再更新，操作结束。算法的搜索流程也就此结束，我们找到了从起点到其余各个顶点的最短路径。

根据搜索结果可知，从起点 A 到终点 G 的最短路径是 A-C-D-F-G，权重为 14。

将图的顶点数设为 n、边数设为 m。该算法经过 n 轮更新操作后就会停止，而在每轮更新操作中都需要对各个边进行 1 次确认，因此 1 轮更新所花费的时间就是 O(m)，整体的时间复杂度就是 O(nm)。

有向图与以上步骤相同，只需按照边所指向的方向来计算即可。

计算最短路径时,边的权重代表的通常都是时间、距离或者路费等,因此基本都是非负数。不过,即便权重为负,贝尔曼 - 福特算法也可以正常运行。

如果闭环中有负数权重，就不存在最短路径。

狄克斯特拉算法

狄克斯特拉( Dijkstra)算法也是求解最短路径问题的算法,使用它可以求得从起点到终点的路径中权重总和最小的那条路径。

仍然设A为起点，G为终点。

与贝尔曼-福特算法相同，将起点设置为0，其他顶点设置为无穷大。设置从A出发，寻找可以从目前所在的顶点直达且尚未被搜索过的顶点,此处为顶点 B 和顶点 C,将它们设为下一步的候补顶点。

计算后结果如上图。计算方法是“目前所在顶点的权重+目前所在顶点到候补顶点的权重”。与贝尔曼-福特算法类似。

**从候补顶点中选出权重最小的顶点。**此处 B 的权重最小,那么路径 A-B 就是从起点 A 到顶点 B 的最短路径。确定了最短路径，移动到顶点B。

将可以从顶点B直达的顶点设为新的候补顶点，于是顶点 D 和顶点 E 也成为了候补。目前有三个候补顶点 C、D、E。

同理。在计算B到各顶点值后，比较各点值大小。其中B-C点的权重为8>5，所以不更新。确认了最短路径，移动到顶点D。计算D-E的权重为7>5，发现并不需要更新它。现在，有两个候补顶点（C和E）权重均为5，选择哪一个向下计算都可以。以下先选择C。

算出F点的权重后，回到E进行计算。

此时算出G点的权重为14。再次回到F，对F-G的权重进行计算得20>14。故G的最小权重为14。

最终得到的这颗橙色的树就 是最短路径树,它表示了起点到达各个顶点的最短路径。

比起需要对所有的边都重复计算权重和更新权重的贝尔曼 - 福特算法，狄克斯特拉算法多了一步选择顶点的操作，这使得它在求最短路径上更为高效。

将图的顶点数设为 n、边数设为 m，那么如果事先不进行任何处理，该算法的时 间复杂度就是 O( n²)。不过，如果对数据结构进行优化，那么时间复杂度就会变为 O(m + nlogn)。

有负数权重时不能使用狄克斯特拉算法

不存在负数权重时,更适合使用效率较高的狄克斯特拉算法,而存 在负数权重时,即便较为耗时,也应该使用可以得到正确答案的贝尔曼 - 福特算法。

A*算法

A*(A-Star)算法也是一种在图中求解最短路径问题的算法,由狄克斯特拉算法发展而来。

狄克斯特拉算法会从离起点近的顶点开始，按顺序求出起点到各个顶点的最短路径。也就是说，一些离终点较远的顶点的最短路径也会被计算出来，但这部分其实是无用的。与之不同，A* 就会预先估算一个值，并利用这个值来省去一些无用的计算。

先使用狄克斯特拉算法来求解以上迷宫的最短路径。

将迷宫看作是一个图，其中每个方块都是一个顶点，各顶点间的距离（权重）都为 1。

用狄克斯特拉算法求最短路径的结果会如上图所示，方块中的数字表示从起点到该顶点的距离（权重），蓝色和橙色的方块表示搜索过的区域，橙色方块同时还表示从 S 到 G 的最短路径。

狄克斯特拉算法只根据起点到候补顶点的距离来决定下一个顶点。因此，它无法发现蓝色箭头所指的这两条路径其实离终点越来越远，同 样会继续搜索。

而A* 算法不仅会考虑从起点到候补顶点的距离, 还会考虑从当前所在顶点到终点的估算距离。 这个估算距离可以自由设定,此处我们用的是将顶点到终点的直线距离四舍五入后的值。

由人工预先设定的估算距离被称为**“距离估算值”。如果事先根据已知信息设定合适的距离估算值,再将它作为启发信息辅助计算,搜索就会变得更加高效。这样的算法也成为启发式算法**。

从起点开始搜索。分别计算起点周围每个顶点的权重。计算方法是“从起点到该顶点的距离”（方块左下）加上 “距离估算值”（方块右下）。

选择一个权重最小的顶点，用橙色表示，并继续向后搜索。

按照顺序继续向下搜索。

搜索完毕如上图。可以看出基本不回去计算离终点太远的区域。

如果我们能得到一些启发信息，即各个顶点到终点的大致距离（这个距离不需是准确的值）我们就能使用 A* 算法。当然，有时这类信息是完全无法估算的，这时就不能使用 A* 算法。

距离估算值越接近当前顶点到终点的实际值，A* 算法的搜索效率也就越高；反过来，如果距离估算值与实际值相差较大，那么该算法的效率可能会比狄克斯特拉算法的还要低。如果差距再大一些，甚至可能无法得到正确答案。

不过,当距离估算值小于实际距离时,是一定可以得到正确答案的(只是如果没有设定合适的距离估算值,效率会变差)。

A* 算法在游戏编程中经常被用于计算敌人追赶玩家时的行动路线等，但由于该算法的计算量较大，所以可能会使游戏整体的运行速度变慢。因此在实际编程时，需要考虑结合其他算法，或者根据具体的应用场景做出相应调整。

参考资料：我的第一本算法书 (石田保辉 宮崎修一)