阵列信号处理-波束方向图参数

波束方向图的参数有：

3dB带宽(半功率波束宽度，HPBW，half-power beamwidth)
到第一零点距离(这个距离的两倍称为 $BW_{NN}$ )
到第一旁瓣的距离
第一旁瓣的高度
其余零点的位置
旁瓣的衰减速率
栅瓣

波束方向图的主波束

3dB波束宽度

3dB波束宽度是描述波束宽度的一个度量。

定义如下：

$B_u(u)|^2=0.5$

或

$|B_u(u)|=1/\sqrt{2}$

因此，可以通过 $B_u(u)$ 的值等于 $1/\sqrt{2}$ 来确定 $u$ 空间的半功率点。

3dB波束宽度也称为半功率波束宽度，用式子表示为

$\Delta u_1 = 0.891\frac{\lambda}{Nd}$

到第一零点的距离和其余零点的位置

**零点：**波束方向图出现零点的情况为 $B_u(u)$ 的分子为零，分母不为零。

即：

$sin(\frac{\pi N d}{\lambda} u)=0$

$sin(\frac{\pi d}{\lambda} u)\ne0$

则

$\frac{\pi N d}{\lambda} u = m \pi，m=1,2,…$

$\frac{\pi d}{\lambda} u \ne m \pi，m=1,2,…$

化简为

$\frac{\lambda}{N d}，m=1,2,…$

$\ne m \frac{ \lambda }{d}，m=1,2,…$

则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$ 。

到第一零点的距离为 $2\frac{\lambda}{Nd}$ ，又称为零点-零点波束宽度，表示为 $BW_{NN}$ 。 $BW_{NN}$ 的一半是到第一零点的距离。这个量衡量了阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为瑞利限。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外，则认为这两个平面波是可以分辨的。

到第一旁瓣的距离、第一旁瓣的高度和旁瓣的衰减速率

旁瓣的极大值的位置出现在 $B_u(u)$ 的分子逼近极大值的情况下，即：

$sin(\frac{\pi N d}{\lambda} u)=1$

则

$\frac{\pi N d}{\lambda} u=_-^+(2m+1)\frac{\pi}{2}，m = 1,2,…$

化简

$u=_-^+\frac{2m+1}{N}\frac{\lambda}{2d}，m = 1,2,…$

因此，第一旁瓣的峰值出现的位置为：

$u=_-^+\frac{3}{N}\frac{\lambda}{2d}$

第一旁瓣极大值为：

$B_u(_-^+\frac{3}{N}\frac{\lambda}{2d})==\frac{1}{N}\frac{1}{sin(\frac{3\pi}{2N})}$

旁瓣的衰减速率

旁瓣的主要位置为：

$u=_-^+\frac{2m+1}{N}\frac{\lambda}{2d}，m = 1,2,…$

因此旁瓣的衰减速率为:

$\frac{1}{2m+1}$

栅瓣

栅瓣：和主瓣一样高的波瓣。栅瓣发生在当 $B_u(u)$ 的分子和分母均为零的时候。因此栅瓣的出现间隔为：

$\frac{\pi d}{\lambda} u=m\pi$

即

$u=m\frac{\lambda}{d}$

假如阵列的间距大于 $\lambda$ ，则栅瓣的峰值出现在信号传播区域以内，即在 $|u|\le 1$ 的区域以内，因此会产生峰值响应的模糊。

阵列需要的调向范围为 $0\le \theta \le \pi$ ，则需要

$\frac{d}{\lambda}\le \frac{1}{2}$

将 $d=\frac{\lambda}{2}$ 的均匀线阵称为标准线阵。

阵元间距对波束方向图的影响：

仿真代码：

clc;
close all;
clear all;

c = 3e8;
f0 = 77e9;
lambda = c / f0;
d = [lambda / 4 , lambda / 2, lambda];
d_str = {'lambda / 4','lambda / 2','lambda'};
N = 10; %阵元个数
u = -3:0.0001:3;
figure('color','w');
for i = 1:1:length(d)
    Bu = 1/N * sin(N*pi*d(i)/lambda*u) ./ sin(pi*d(i)/lambda*u);
    Bu_dB = 10*log10(abs(Bu).^2); %db
    subplot(3,1,i);
    plot(u,Bu_dB);xlabel('u');ylabel('频率-波束响应函数(dB)');
    xlim([-3,3]);ylim([-25,5]);
    legend(d_str(i));
end

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