二分查找|前缀和|滑动窗口|2302:统计得分小于 K 的子数组数目

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本文涉及的基础知识点

二分查找算法合集

题目

一个数组的分数定义为数组之和乘以数组的长度。
比方说，[1, 2, 3, 4, 5] 的分数为 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) * 5 = 75 。
给你一个正整数数组 nums 和一个整数 k ，请你返回 nums 中分数严格小于 k 的非空整数子数组数目。
子数组是数组中的一个连续元素序列。
示例 1：
输入：nums = [2,1,4,3,5], k = 10
输出：6
解释：
有 6 个子数组的分数小于 10 ：

[2] 分数为 2 * 1 = 2 。
[1] 分数为 1 * 1 = 1 。
[4] 分数为 4 * 1 = 4 。
[3] 分数为 3 * 1 = 3 。
[5] 分数为 5 * 1 = 5 。
[2,1] 分数为 (2 + 1) * 2 = 6 。
注意，子数组 [1,4] 和 [4,3,5] 不符合要求，因为它们的分数分别为 10 和 36，但我们要求子数组的分数严格小于 10 。
示例 2：
输入：nums = [1,1,1], k = 5
输出：5
解释：
除了 [1,1,1] 以外每个子数组分数都小于 5 。
[1,1,1] 分数为 (1 + 1 + 1) * 3 = 9 ，大于 5 。
所以总共有 5 个子数组得分小于 5 。
参数范围：
1 <= nums.length <= 10⁵
1 <= nums[i] <= 10⁵
1 <= k <= 10¹⁵

二分查找、前缀和

代码

时间复杂度

O(nlogn)。枚举子数组起点，时间复杂度O(n)；二分查找终点：时间复杂度O(logn)。

原理

寻找最后一个符合以下条件的vNumRight，故用左闭右开空间。vNumRight的取值范围是[vNumLeft,m_c]，换成左闭右开空间是[vNumLeft,m_c+1)。nums[vNumLeft,vNumRight) 就是要判断的子数组。

核心代码

class Solution {
public:
	long long countSubarrays(vector<int>& nums, long long k) {
		m_c = nums.size();
		vector<long long> vPreSum = { 0 };
		for (const auto& n : nums)
		{
			vPreSum.emplace_back(vPreSum.back() + n);
		}
		long long llRet = 0;
		for (int vNumLeft = 0; vNumLeft < m_c; vNumLeft++)
		{
			//求最大的vNumRight，使得nums[vNumLeft,vNumRight)的得分小于k。左闭右开
			int left = vNumLeft, right = m_c + 1;
			while (right - left > 1)
			{
				const auto mid = left + (right - left) / 2;
				if ((vPreSum[mid] - vPreSum[vNumLeft])*(mid-vNumLeft) < k)
				{
					left = mid;
				}
				else
				{
					right = mid;
				}
			}
			llRet += left - vNumLeft;
		}
		return llRet;
	}
	int m_c;
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

int main()
{
vector nums;
long long k,res;
{
Solution slu;
nums = { 2, 1, 4, 3, 5 }, k = 10;
auto res = slu.countSubarrays(nums, k);
Assert(6LL, res);
}
{
Solution slu;
nums = { 1,1,1 }, k =5;
auto res = slu.countSubarrays(nums, k);
Assert(5LL, res);
}
{
Solution slu;
nums = { 9,5,3,8,4,7,2,7,4,5,4,9,1,4,8,10,8,10,4,7 }, k = 4;
auto res = slu.countSubarrays(nums, k);
Assert(3LL, res);
}
//CConsole::Out(res);
}

滑动窗口

时间复杂度O(n)

由于是正整数，所以子数组起点相同，终点越大，积分越大。相同的left,right不断增大。left增大，right不变或变大。left循环O(n)次,right也是。right总共循环了o(n)，每次都是接着上次的right开始，没有重新开始。

代码

class Solution {
public:
	long long countSubarrays(vector<int>& nums, long long k) {
		m_c = nums.size();
		long long llSum = 0;
		long long llRet = 0;
		for (int left = 0,right=0; left < m_c; left++)
		{
			//子数组nums[left,right)符合要求，且right是当前left的最大值
			while ((right < m_c) && ((llSum+nums[right]) * (right+1 - left) < k))
			{
				llSum += nums[right++];
			}
			llRet += right - left;
			llSum -= nums[left];
		}	
		return llRet;
	}
	int m_c;
};