文章目录
- 1.树的基本概念和介绍
- 1.1树的概念
- 1.2树的基本术语
- 1.3树的使用
- 1.4树的表示
- 1.4.1图形表示
- 1.4.2代码表示
- 2.二叉树的基本概念和介绍
- 2.1二叉树的介绍
- 2.2二叉树的性质
- 2.3二叉树的储存结构
- 2.3.1顺序储存结构
- 2.3.2链式存储结构
1.树的基本概念和介绍
1.1树的概念
在以前的学习的数据结构之中，有一对一结构的线性数据结构，如顺序表、链表；有多对多的数据结构，如图等；树是一种一对多类型的数据结构。
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
（1）只有一个特殊的数据元素称为树的根结点，根结点没有前驱结点。
（2）除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
（3）树是递归定义的，树结构的许多算法都可以使用递归方法。
树具有下面两个特点：
（1）树的根结点没有前驱结点，除根结点之外的所有结点有且只有一个前驱结点。
（2）树的所有结点可以有零个或多个后继结点。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
1.2树的基本术语
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6;
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点；
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6；
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。
1.3树的使用
树结构中的层级关系、分支关系和递归结构在实际应用中非常常见，通过一些资料的搜索，我们可以得到树结构在实际使用中一些典型的应用：
1.文件系统（Filesystem）：电脑中的文件系统通常使用树结构来表示文件和文件夹之间的层级关系。每个文件夹可以包含若干个子文件夹和文件，从而形成了一个完整的文件系统。
Liunx文件系统就是一种树结构：
2.编译器（Compiler）：编译器通常使用抽象语法树（Abstract Syntax Tree）来表示程序的语法结构。抽象语法树是一种特殊的树结构，每个节点表示源代码中的一个语法结构（如表达式、语句等），节点之间的层级关系表示源代码中的逻辑结构。
3.数据库（Database）：数据库中的索引结构通常使用B树（或B+树）来实现，B树（或B+树）是一种特殊的树结构，它可以高效地支持数据的插入、删除和查找等操作。
4.操作系统（Operating System）：操作系统通常使用进程树（Process
Tree）来组织进程之间的层级关系，从而方便对进程的管理和监控。
5.网络协议（Network Protocol）：在网络通信中，路由协议和路由器通常使用树结构来表示网络拓扑结构，从而方便进行路由选择和数据传输。
1.4树的表示
1.4.1图形表示
（1）直观表示法：树的直观表示法就是以倒着的分支树的形式表示，以上的图都是我们使用直观表示法描述的树。直观表示法对树的逻辑结构描述非常直观，这是数据结构中最常用的树的描述方法。
（2）嵌套集合表示法：嵌套集合中对于其中任意两个集合，或者不相交，或者一个包含另一个。用嵌套集合的形式表示树，就是将根结点视为一个大的集合，各棵子树构成这个大集合中若干个互不相交的子集。
（3）凹入表示法：树的凹入表示法如同书的目录结构，树的凹入表示法主要用于树的屏幕和打印输出。
（4）广义表表示法：树用广义表表示，就是将根作为由子树森林组成的表的名字写在报表的左边，这样依次将树表示出来。
1.4.2代码表示
（1）双亲表示法（Parent representation）：双亲表示法是一种树的存储方法，使用一个一维数组来存储节点，数组中的每个元素记录了当前节点的值和父节点的编号。但是，这种方法会浪费大量的空间，因为每个节点的父节点编号都要单独占用一项数组分量，而很多节点并没有子节点。
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int ElemType;
typedef struct {
ElemType data; // 节点的值
int parent; // 父节点的位置
} PTNode;
typedef struct {
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; // 存储所有节点
int n; // 节点数目
} PTree;
（2）子链表示法（Child representation）：子链表示法是一种树的存储方法，使用一个一位数组来存储节点，数组中每个元素记录当前节点的值和它的第一个子节点的编号。对于每个节点，它的所有子节点按照它们在数组中的顺序依次排列。
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int ElemType;
// 孩子结点
typedef struct CTNode {
int child; // 孩子结点在数组中的位置
struct CTNode *next; // 下一个孩子结点
} ChildPtr;
// 表头结构
typedef struct {
ElemType data; // 结点数据
ChildPtr *firstchild; // 孩子链表头指针
} CTBox;
// 树结构
typedef struct {
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; // 结点数组
int n, r; // 结点数和根的位置
} CTree;
（3）孩子兄弟表示法（Child-sibling representation）：孩子兄弟表示法是一种树的存储方法，使用链表来存储节点之间的关系，每个节点可以有多个子节点和一个兄弟节点。通过这种方法，可以用链表来存储任意形态的树结构，但是查询操作可能需要耗费相对较长的时间。
typedef char ElemType;
// 树的结点结构体
typedef struct CSNode {
ElemType data; // 结点数据
struct CSNode *firstchild; // 第一个孩子结点
struct CSNode *nextsibling; // 下一个兄弟结点
} CSNode, *CSTree;
2.二叉树的基本概念和介绍
2.1二叉树的介绍
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1.或者为空
2.由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
二叉树和树的区别是：
（1）每个结点最多有两棵子树
（2）二叉树不存在度大于2的结点
（3）子树有左右之分次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
任意二叉树由这5种情况构成：
特殊的二叉树：
满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.2二叉树的性质
1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2的(i-1)方个结点。
2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2的h方-1。
3.对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有n0＝n2＋1。
4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)(ps：log2(n+1) 是log以2为底，n+1为对数)。
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
(1)若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点；
(2)若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子；
(3)若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子。
2.3二叉树的储存结构
2.3.1顺序储存结构
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
//以堆的实现为例：
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* _a;
int _size;
int _capacity;
}Heap;
2.3.2链式存储结构
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。
typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
};
这些就是数据结构中有关树和二叉树的简单介绍了😉
如有错误❌望指正，最后祝大家学习进步✊天天开心✨🎉
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