我们这里的加法器只考虑一位的情况。
当我们两个一位相加的话，那么就有两个输入，两个输出，两个输入很好理解，就是两个个位上的数字，0或者是1，那么为什么需要有有个输出呢？难道不是输出一个数就好了吗？因为如果两个数字都是1的话，那么就要考虑到进位的情况，所以这个时候就有了两个输出，一个是S，一个是C_out，其中的C_out就是表示输出的进位。那么这样的话就构成了一位的半加器。如下图：
这个就是一位的半加法器。那怎么写出这种情况来的呢？其实就是将所有的A,B的输入情况全部枚举出来，然后写出对应的所有的S和C的情况，根据A,B和S的关系，然后推断出其中要使用那种逻辑电路才能写出来，总之大部分的关系都是可以通过一个逻辑符号表示出来的，如果一个不可以的话，那就写两个，或者是更多。
那为什么要引入全加法器呢？半加法器实现不了吗？原来半加法器只能实现个位的加减法，而十位，百位这些在中间的为主，如果低位有进位的话，那么就还需要一个出入的变量进行想加，所以得加入低位的进位C_in进行想加。那么这个时候有了三个输入的想加的变量，而一个半加法器只能同时进行两个数字的计算，这样的话就需要两个半加器进行计算就好了。我们可以将两个半加器的想加当做是两个阶段进行计算，第一个半加器的相加是旧相加，第二个半加器的相加是新相加，故而第一个半加器输出的C是C_旧，第二个半加器输出的是C_新。我们假设有一个十位上的A,B两个数字相加，然后有一个个位上的进位，C_in，那么首先，A,B先进行一个半加器的想加，输出的是一个十位上的数字，同时还有一个向高位的进位，C_旧，那么由于个位上的进位需要到十位上进行一个计算，所以第一次半加器计算的记过S需要和C-in进行第二次计算，计算出十位上的S和百位上的进位C-新，此时第二次算出来的S才是真正要计算出去的S，因为已经经过了所有十位上的计算，而百位上的进位，有两个，一个是C-旧，一个是C-新，这个时候要根据两个的值最后求出一个最后输出的C-out。实际上我们知道，如果一开始A,B进位的话，那么输入到第二个加法器中的S一定是0，因为最大就是两个1相加，故而第二个加法器中的C-新最大为1，即两个C不可能同时为1,即不能同时进位，故而C-旧和C新就只有三种情况（1,0）（0,1）（0,0）就只有这三种情况，而最后输出的C_out结果分别是他们两个数相加，为了避免再使用一次加法器，这个时候就需要用一个逻辑门来实现这个功能，显然使用逻辑或门是最好的，完全可以包括所有的情况，所以有了以下的电路。
那么有了一位的全加器，可不可以实现四位，八位甚至是更高位数上的想加呢？答案是可以的，但是这里只演示四位的全加器。
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其实减法也是同理，只不过是由进位变成了借位而已，也需要两个半减法电路去实现的，最终也是使用或门来连接的输出值，基本上和加法电路是一样的，不过需要注意的是，一次借位是2。
