一.引例

计算机网络传输的问题：

怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其他计算机发送一条消息。

抽象为：

给定带权有向图G=（V，E）和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径。

即：

单源点最短路径问题

给定带权有向图G=（V，E）和源点vV,求从v到G中其余各顶点的最短路径。

二.最短路径

在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。

在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。

三.Dijskra算法的基本思想

        设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi属于V-S，假设从原点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v，……，vk，就将vk加入到集合S中，并将路径v，……，vk，vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。

四.Dijskra算法的数据结构

1.图的存储结构：

带权的邻接矩阵存储结构（因为需要频繁的读取边）

2.数组dist[n]：

每个分量dist[i]表示当前所找到的从起始点v到终点vi的最短路径的长度。

初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为。

3.数组path[n]:

path数组，下标为图每个顶点的编号，数组中的元素为由某个顶点到这个顶点的顶点编号。

初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为0；否则path[i]为-1。

最终输出最短路径，依靠path数组。

每次更改dist数组的内容，都会在path数组中更新上一个结点的内容。

4.数组s[n]:

存放源点和已生成的终点，其初态为只有一个源点v。

s数组都初始化为0（源点初始化为1），当该点被放入s集合中，将其置为1。

 五.伪代码

1.初始化数组dist、path和s；

2.while（s中的元素个数<n）

        2.1 在dist[n]中求最小值，其下标为k；

        2.2 输出dist[i]和path[j]；

        2.3 修改数组dist和path；

        2.4 将顶点vk添加到数组s中

六.代码实现 

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAX_VERTEX=10;

//带权（邻接矩阵）有向图
class MGraph{
private:
    int arc[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//邻接矩阵
    int vertex[MAX_VERTEX];//存储每个结点的信息
    int vertexNum,arcNum;//实际顶点个数，边的条数
public:
    MGraph(int n,int e);
    void Dijkstra(int start);
    int findMinDist(int dist[],int s[]);
    void display();
    void displayPath(int dist[],int path[],int start,int min);
};

int main(int argc, const char * argv[]) {
    MGraph G(5, 7);
    //G.display();
    G.Dijkstra(0);
    return 0;
}
MGraph::MGraph(int n,int e){
    int p,q,w;
    vertexNum=n;
    arcNum=e;
    for(int i=0;i<n;i++){//初始化邻接矩阵
        for(int j=0;j<n;j++){
            arc[i][j]=-1;//-1表示不可到达
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        vertex[i]=i;
        arc[i][i]=0;
    }
    for(int i=0;i<e;i++){
        cin>>p>>q>>w;
        arc[p][q]=w;
    }
}

void MGraph::Dijkstra(int start){
    int *s=new int[vertexNum];
    int *dist=new int[vertexNum];
    int *path=new int[vertexNum];
    int i,num=0,min;
    for(i=0;i<vertexNum;i++){
        dist[i]=arc[start][i];//初始化距离
        s[i]=0;//初始化集合S
        if(arc[start][i]!=-1){//start到i有路径
            path[i]=start;
        }
        else{
            path[i]=-1;
        }
    }
    s[start]=1;//将源点放入集合S中，1表示在集合中，0表示不在集合中
    num++;//num记录集合S中元素的个数
//    for(int i=0;i<vertexNum;i++){
//        cout<<dist[i]<<" ";
//    }
//    cout<<endl;
    while(num<vertexNum){
        min=findMinDist(dist, s);//dist中查找集合S中不存在的顶点到源点的距离的最小值
        cout<<min<<endl;
        s[min]=1;//将新生成的终点加入到集合S中
        num++;
        for(i=0;i<vertexNum;i++){//更新数组dist和path
            if(s[i]==0&&arc[min][i]!=-1){
                if(dist[i]==-1){
                    dist[i]=dist[min]+arc[min][i];//更新dist数组
                    path[i]=min;//更新path数组
                }
                else if(dist[i]!=-1&&(dist[min]+arc[min][i])<dist[i]){
                    dist[i]=dist[min]+arc[min][i];
                    path[i]=min;//更新path数组
                }
            }
        }
//        for(int i=0;i<vertexNum;i++){
//            cout<<dist[i]<<" ";
//        }
//        cout<<endl;
        displayPath(dist, path, start, min);
    }
    delete [] path;
    delete [] s;
    delete [] dist;
}

int MGraph::findMinDist(int dist[],int s[]){
    int i=0,min=0;
    for(i=0;i<vertexNum;i++){//给min赋初始值
        if(s[i]==0&&dist[i]!=-1){//该顶点不在集合S中
            min=i;
            break;
        }
    }
    for(;i<vertexNum;i++){
        if(s[i]==0){//该顶点不在集合S中
            if(dist[i]!=-1&&dist[min]>dist[i]){
                min=i;
            }
        }
    }
    return min;
}

void MGraph::displayPath(int dist[],int path[],int start,int min){
    int pre=min;
    int p[vertexNum],i=0,j;
    while(pre!=start){
        p[i++]=pre;
        pre=path[pre];
    }
    p[i++]=pre;
    cout<<"(";
    for(j=i-1;j>0;j--){
        cout<<p[j]<<",";
    }
    cout<<p[0]<<")";
    cout<<dist[min]<<endl;
}
void MGraph::display(){
    for(int i=0;i<vertexNum;i++){
        for(int j=0;j<vertexNum;j++){
            cout<<arc[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}