1. 极大似然估计与EM算法

        极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是以观测值出现的概率最大作为准则。关于极

大似然估计，假设现在已经取到样本值了，这表明取到这一样本的概率L(θ) 比较

大。我们自然不会考虑那些不能使样本出现的θ作为估计值，再者，如果已知当

θ=θ(0)是使L(θ)取很大值，而θ中的其他θ的值使 L(θ)取值很小，自然认为取θ(0)作为未知参数

θ 的估计值较为合理。        

         在极大似然估计中，独立同分布(IID)的数据，  其概率密度函数为

似然函数定义为，对数似然函数定义为，θ的

极大似然估计为。

        极大似然估计存在着问题是：①对于许多具体问题不能构造似然函数解析表达式 ②似然函数

的表达式过于复杂而导致求解方程组非常困难。正是在这种情况下，才提出了EM算法。EM算法主

要用于非完全数据参数估计，它是通过假设隐变量的存在，极大化地简化了似然函数方程，从而解

决了方程求解问题。

       计算极大似然估计(maximum likelihood  estimate，MLE)，需要求似然函数的极值。如求正态

分布均值和方差的MLE：

观测数据：观测到的随机变量Y的IID样本

缺失数据：未观测到的随机变量Z的值

完整数据：包含观测到的随机变量Y和未观测到的随机变量Z的数据，

        EM算法是一种迭代算法，1977年由Dempster等人总结提出，用于含有隐变量的概率模型参

数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成：E步，求期望

（Expectation）；M步，求极大（Maximization）。所以这一算法称为期望极大算法。

2. 3硬币模型

       假设有3枚硬币，分别记作A、B、C。这些硬币正面出现的概率概率分别是a、b、c。进行如

下掷硬币试验：先掷A，根据其结果选出硬币B或C，正面选择硬币B，反面选硬币C；然后掷选出

的硬币，掷硬币的结果，出现正面记作1，出现反面记作0；独立地重复n次试验(这里n=10),观测结

果如下：1、1、0、1、0、0、1、0、1、1

假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测到掷硬币的过程。问如何估计三硬币正面出现的概率，即

三硬币模型的参数。三硬币模型可以写作：

这里，随机变量y是观测变量，表示一次试验观测的结果是1或0；随机变量z是隐变量，表示未观测

到的掷硬币A的结果，θ=(a,b,c)是模型参数。注意，随机变量y的数据可以观测，随机变量z的数据

不可观测。

将观测数据表示为，未观测数据表示

则观测数据的似然函数为：

即：

考虑求模型参数θ=(a,b,c)的极大似然估计，即：

这个问题没有解析解，只能通过迭代的方法求解。EM算法就是可以用于求解这个问题的一种迭代

算法，下面给出针对以上问题的EM算法：

EM算法首先选取参数的初值，记作：

然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计值，直至收敛为止。第i次迭代参数的估计值为：

EM算法的第i+1次迭代如下：

①E步：计算在模型参数下观测数据来自掷硬币B的概率：

计算似然函数的期望：

②M步：求似然函数的极大值

计算模型参数的新估计值：

 

进行数字计算：假设模型参数的初始值取为：由E步第一个公式，

对y=0与y=1均有，利用迭代公式（新估计值），得到

由E步第一个公式有，j=1,2,3...10，继续迭代得。

于是参数模型的极大似然估计：。

3. EM算法步骤

        EM算法的实现思路：首先根据已经给出的观测数据，估计出模型参数的值； 然后再依据上⼀

步估计出的参数值估计缺失数据的值，再根据估计出的缺失数据加上之前已经观测到的数据重新再

对参数值进行估计；然后反复迭代，直至最后收敛，迭代结束。

EM算法计算流程：

EM算法步骤：

选择模型参数的初值，开始迭代； 

E步：记为第i次迭代参数θ的估计值，在第i+1次迭代的E步，定义Q函数并计算：

这里，Q函数定义为完全数据的对数似然函数在给定观测数据Y和当前的参

下对未观测数据Z的条件概率分布的期望；通过求期望，去掉了完整似然函数中的

变量Z。其实就是用这个缺失数据的期望值来代替缺失的数据，而这个缺失的数据期望值和它的概

率分布有关。那么我们可以通过对似然函数关于缺失数据期望的最大化，来逼近原函数的极大值。

EM算法本质就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法。即EM的E步。

M步：求使极大化的θ，确定第i+1次迭代的参数的估计值

重复E、M两步，直到收敛。每次参数更新会增加非完整似然值，反复迭代后，会收敛到似然的局

部最大值。

4. EM算法原理

EM算法是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。它的具体思想是：既然不能直接最大化参

数似然函数L，我们可以不断地建立参数似然函数L的下界（E步），然后优化下界（M步）。

利用琴生不等式得到似然函数的下界：

对于每一个样例i，让Qi表示该样例隐含变量z的某种分布，Qi满足条件：

这个过程可以看作是对L（θ）求了下界。对于的选择有很多种，哪种更好呢？假设θ已经给

定，那么L（θ）的值就决定于和。我们可以通过调整这两个概率使下界不断上

升，以逼近L（θ）的真实值，那么什么时候算是调整好了呢？当不等式变成等式时，说明调整后的

概率能够等价L（θ）。根据琴生不等式，等式成立的条件是随机变量取值为常数值，故可得到：

c为常数，不依赖于。

由于，那么就有（多个等式分子分母相加不变，这个认为每

个样例的两个概率比值都是c），那么有：

将带入前面得到的似然函数下界，可以发现L（θ）的下界函数就是前面定义的

函数。 这一步是E步，建立了L（θ）的下界。

接下来是M步，就是在给定后，调整θ，去极大化L（θ）的下界，那么怎么确保EM收敛

呢？又如何确保每次迭代都能使极大似然估计单调增加呢？下述两个定理表明了利用EM算法所得

到的估计序列具有良好的收敛性，且其收敛到p(θ丨Y)的最大值。

定理1：设P（Y丨θ）为观测数据的似然函数，（i=1,2...）为EM算法得到的参数估计序列，

（i=1,2...）为对应的似然函数序列，则是单调递增的，即

。保证了EM算法的每次迭代都使似然函数增大或达到局部极值。

定理2：设为观测数据的对数似然函数（i=1,2...）为EM算法得到的参数估计序列，（i=1,2...）为对应的对数似然序列。

（1）如果P（Y丨θ）有上界，则收敛到某一值

（2）在函数与满足一定条件下，由EM算法得到的参数估计序列的收

敛值是的稳定点。

保证了EM算法所得到的估计序列具有良好的收敛性，且其收敛到p(θ丨Y)的最大值。

5. EM算法补充

EM算法的另一种理解：坐标上升法

下图的直线式迭代优化的路径，可以看到每一步都会向最优值前进一步，而且前进路线是平行于坐

标轴的，因为每一步只优化一个变量。就像在x-y坐标系中找一个曲线的极值，然而曲线函数不能

直接求导，因此什么梯度下降方法就不适用了。但固定一个变量后，另外一个可以通过求导得到，

因此可以使用坐标上升法，一次固定一个变量，对另外的求极值，最后逐步逼近极值。对应到EM

上，E步：固定θ，优化Q；M步：固定Q，优化θ；交替将极值推向最大。

EM算法的几点说明： 

①参数的初值可以任意选择，但需要注意EM算法对初值是敏感的。

②E步求Q函数。Q函数式中Z是未观测数据，Y是观测数据。注意，的第一个变元表

示要极大化的参数，第二个变元表示参数的当前估计值。每次迭代实际在求Q函数及其极大。

③M步求的极大化，得到，完成一次迭代。每次迭代都使似

然函数增大或达到局部极值。

④给出停止迭代的条件，一般是对较小的正数，若满足以下条件，则停止迭代。