题目1：1049 最后一块石头的重量
题目链接：最后一块石头的重量
对题目的理解
整数数组stone[i]表示第i块石头的重量，每次从中选出任意两块石头(x<=y)粉碎
如果两块石头重量相等，就会被完全粉碎；如果不等，那么重量轻(x)的石头会被粉碎，另一块石头重量变为y-x
每次最多剩下一块石头，返回此石头可能的最小重量，如果没有石头剩下，就返回0
stone数组中的元素在1~100之间，数组长度在1~30之间
每次让数值相近的石头一起粉碎，这样最终得到的重量会减少，本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
本题物品的重量是stones[i],物品的价值也是stones[i]
动规五部曲
1）dp数组的含义及下标i的含义
dp[j]:表示背包容量为j背的最大价值，
本题表示背包中容量是j时，最大重量是dp[j]
2）递推公式
01背包：dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])
dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i])
3）dp数组初始化
dp[0]=0 ,根据递推公式，非零下标对应的dp[j]也初始化为0，这样才不会覆盖初始值
1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 100，所以最大重量就是30 * 100 ，但是背包只需要装最大重量的一半即可（因为将石头分成重量相等的两堆），target=sum/2=3000/2=1500
4）遍历顺序
先正序遍历物品，后倒序遍历背包
for(i=0;i<stones.size();i++){
for(j=target;j>=stones[i];j--)}
5）打印dp数组
最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量，那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]，
因为target=sum/2,是直接抹去小数部分，所以sum-dp[target]>=target
最终石头的最小重量是result=(sum-dp[target])-dp[target]
代码
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
//数组长度最大是30，数组中的元素最大是100，所以dp数组承受的最大重量是30*100=3000，分成重量相同的两堆，所以大小是1500+1
//dp数组初始化
vector<int> dp(1501,0);
int sum = 0;
for(int i=0;i<stones.size();i++){
sum += stones[i];
}
int target = sum/2;
//递推,先正序遍历物品，后倒序遍历背包
for(int i=0;i<stones.size();i++){
for(int j=target;j>=stones[i];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
}
}
int result = sum-dp[target]-dp[target];
return result;
}
};- 时间复杂度：O(m × n) , m是石头总重量（准确的说是总重量的一半），n为石头块数
- 空间复杂度：O(m)
题目2：494 目标和
题目链接：目标和
对题目的理解
非负整数数组的每个数字前添加 '+' 或 '-' 得到表达式，计算表达式运算结果等于target的不同表达式的数目
本题还是分成两个部分，加法集合left 减法集合right，这两个集合满足下面的两个等式①②
① left+right=sum
② left-right=target
right=sum-left
left-(sum-left)=target-->2left-sum=taget left=(target+sum)/2 注：只有能整除才能找到
如果不能整除，则不存在这样的元素组合使得运算结果等于target，
如果target的绝对值的大于sum，也是无解的
背包容量是left时,看元素中有多少种方式能够装满这个背包,每个元素只用1次，是01背包问题
动规五部曲
1）dp[j]数组即下标j的含义
背包容量为j时，装满背包有dp[j]种方法
2）递推公式
递推公式：dp[j] += dp[j-nums[i]] ，在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！
3）dp数组初始化
dp[0]=1,如果数组[0] ，target = 0，那么 left = (target + sum) / 2 = 0, dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。
根据递推公式 因为递推公式是累加的，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。,所以非零下标的dp[j]初始为0
4）遍历顺序
01背包：正序遍历物品(元素)，倒序遍历背包（left）
5）打印dp数组
代码
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
int sum=0;
for(int i=0;i<nums.size();i++){
sum += nums[i];
}
int left = (target+sum)/2;//dp数组里面尽可能地装left容量 -500~1000
if((target+sum)%2==1) return 0;
if(abs(target)>sum) return 0;
//初始化dp数组
vector<int> dp(left+1,0);
dp[0]=1;
//递推
for(int i=0;i<nums.size();i++){
for(int j=left;j>=nums[i];j--){
dp[j] += dp[j-nums[i]];
}
}
return dp[left];
}
};- 时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量
- 空间复杂度：O(m)，m为背包容量
本题记住：求装满背包有几种方法，递推公式为
dp[j] += dp[j-nums[i]];题目3：474一和零
题目链接：一和零
对题目的理解
返回二进制字符串数组strs最大子集长度，该子集中最多有m个0和n个1，二进制字符串仅由0，1组成
题目要求：strs字符串数组中至少有1个字符串，最多有600个字符串；每个字符串的长度至少为1，最多是100
背包有两个维度，m个0和n个1，装满这个背包有多少个物品
不同长度的字符串就是不同大小的待装物品，每个物品只能使用1次，所以是01背包问题
动规五部曲
1）dp数组及下标i的含义
二维dp数组，dp[i][j] 装满i个0，j个1的背包最多背了dp[i][j]个物品
2）递推公式
01背包递推公式：dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])
每个物品的重量是x个0，y个1,是两个维度，所以递推公式为dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i-x][j-y]+1)
3）dp数组初始化
dp[0][0]=0 非零下标 ，若初始化为一个较大的正整数，那么根据递推公式，值会被覆盖掉
所以非零下标的dp[j]也初始化为非负整数的最小值，即0
4）遍历顺序
01背包：先正序遍历物品strs里的字符串，后倒序遍历背包（两个维度，m和n）
5）打印dp数组
代码
class Solution {
public:
int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
//定义并初始化dp数组，这个数组是一个二维数组,有这两个重量0和1
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,0));
//递推,先正序遍历物品，后倒序遍历背包
for(string str:strs){
//遍历物品（字符串数组）
int x=0;//记录当前字符串中0的个数
int y=0;//记录当前字符串中1的个数
for(char c:str){//遍历字符串中的每个字符,统计字符串中0和1的数量
if(c=='0') x++;
else y++;
}
for(int i=m;i>=x;i--){//遍历背包
for(int j=n;j>=y;j--){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-x][j-y]+1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};- 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
- 空间复杂度: O(mn)
