⭐这一节期末会考大题

1、⛺偏序关系和偏序集

⛲偏序关系

定义：定义在集合 S 上的关系 R，如果它是自反的、反对称的和传递的，就称为偏序（或 偏序关系）。

❗注意：在一个集合的偏序关系中，并不是任何2个元素之间都具有偏序关系，例如 aRb cRd,但是 a与c之间可能不具有偏序关系R

⛲偏序（关系）的例子

证明是否是偏序，要依次验证自反性、反对称性、传递性满足与否

a. “大于或等于” 关系

证明：“ 大于或等于 ” ( ≥ )关系是整数集合上的偏序关系。

🔴解：
自反性： 对所有整数 a 有 a ≥ a，✔️

反对称性： 如果 a ≥ b 且 b ≥ a，那么 a = b，✔️

传递性： 因为 a ≥ b 且 b ≥ c 蕴涵 a ≥ c，✔️

综上所述， ≥ 关系是整数集上的偏序关系

b. “整除” 关系

证明：“ 整除 ”（ | ）关系是正整数集合上的偏序关系。

🔴解：
自反性： 对所有整数 a，有 a | a，✔️

反对称性： 如果 a 和 b 是正整数，且有 a | b 和 b | a，那么 a = b，✔️

传递性： 假设 a 整除 b 并且 b 整除 c。则有正整数 k 和 l 使得 b = ak 和 c = bl 成立。因此，c = a(kl)，所以 a 整除 c，✔️

综上所述， 整除 关系是正整数集合上的偏序关系

c. “包含” 关系

证明：集合的包含（⊆）关系 是定义在集合 S 的幂集上的偏序。

🔴解：
自反性： 只要 A 是 S 的子集，就有 A ⊆ A，✔️

反对称性： A ⊆ B 和 B ⊆ A 蕴涵 A = B，✔️

传递性： A ⊆ B 和 B ⊆ C 蕴涵 A ⊆ C，✔️

综上所述， 包含关系是定义在集合 S 的幂集上的偏序。

🎬偏序集

集合 S 与定义在其上的偏序关系R 一起称为偏序集，记作 (S, R)。

集合 S 中的成员称为偏序集的元素

🎬可比性（comparability）

" ≼ " 符号

符号" ≼ " 用于表示任何偏序集中的关系。

在不同的偏序集中，会使用不同的符号表示偏序，如≤、⊆ 和 │

👉然而，我们需要一个符号用来表示任意一个偏序集中的序关系：

通常，在一个偏序集 (S，R)中，记号a ≼ b表示( a , b )∈R。使用这个记号是由于 “ 小于或等于 ” 关系是偏序关系的范例，而且符号" ≼ " 和 " ≤ "很相似。

(注意符号" ≼ " 用来表示任意偏序集中的关系，并不仅仅是“小于或等于”关系)

❗当 a 与 b 是偏序集 (S， ≼ ) 的元素时，不一定有 a ≤ b 或 b ≤ a

例如，在偏序集 ( P(Z)，⊆ ) 中，{1，2}与{1，3}没有关系，反之亦然，因为没有一个集合被另一个集合包含。

a. 可比 & 不可比

定义：偏序集 (S, ≼) 中的元素 a 和 b 称为可比的，如果 a ≼ b 或 b ≼ a。
当 a 和 b 是 S 中的元素并且既没有 a ≼ b，也没有 b ≼ a，则称 a 与 b 是不可比的（incomparable）。

❗注意：这里的“ ≼ ” 不同于 “ ≤ ”，写的时候要尽可能弯一点，便于区分

“ ≼ ”：

“ ≤ ”：

b. 全序（ =线序 ）

定义：如果(S, ≼)是偏序集，且 S 中的每对元素都是可比的，则 S 称为全序集（totally ordered set）或线序集（linearly ordered set），且 " ≼ " 称为全序或线序。

一个全序集也称为链（chain）

c. 良序集、良序归纳原理及其应用

良序集定义：

对于偏序集( S, ≼ )，如果 " ≼ "是全序，并且 S 的每个非空子集都有一个最小元素，就称它为良序集（well-ordered set）。

（良序是对于结构很好的全序（线序）而言的）

良序归纳原理：

设S是一个良序集。如果（归纳步骤）对所有y∈𝑆，如果 P(x) 对所有 x∈𝑆 且 x ≺ y 为真，则P(y)为真，那么P(x)对所有的 x∈𝑆 为真

（证明：假设P(x)不对所有的x∈𝑆为真。那么存在一个元素 y∈𝑆，使得P(y)为假。于是集合A = {x∈𝑆|P(x)为假} 是非空集合。因为S是良序的，所以A有最小元素a, 根据a是选自A的最小元素，对所有 x∈𝑆 且 x ≺ a 都有 P(x) 为真。由归纳步骤得P(a)为真。这个矛盾就证明了P(x)必须对所有的x∈𝑆为真。）

良序归纳原理的应用：

比数学归纳法更简单，使用良序归纳法进行证明时，不需要基础步骤

因为若 x₀ 是良序集的最小元素，由归纳步骤可知 P(x₀) 为真。因为不存在 x∈S 且x≺x₀，所以P(x) 对所有 x∈S 且 x≺x₀ 为真

🎬偏序集的例子

a. 可比

在偏序集 ( Z⁺ , | )中，整数 3 和 9 是可比的吗？5 和 7 是可比的吗？

🔴解：

整数 3 和 9 是可比的，因为 3|9
整数 5 和 7 是不可比的，因为 5不可整除7，且 7 不可整除 5

b. 全序

全序：每对元素都是可比的

①偏序集（Z，≤ ）是全序集，因为只要a，b是整数，就有a ≤ b 或者b ≤ a

②偏序集（Z⁺，| ）不是全序集，因为它包含不可比的元素，比如 3 和 5

c. 良序集

正整数的有序对的集合：Z⁺ × Z⁺，与 ≼ 构成良序集（因为存在最小元素），其中如果a₁ < b₁ ，或如果a₁ = b₁且a₂ < b₂ ，则（a₁ ，a₂ ）≼（b₁ ，b₂ ）

集合 Z 与通常的 ≤ 不是良序的，因为 Z 中包含负整数集合，而负整数集合中没有最小元素

2、⛺字典序（Lexicographic Orderings）

定义：给定两个偏序集 ( A₁ , ≼₁ ) 和 ( A₂, ≼₂ ) ，在 A₁ × A₂ 上的字典顺序 ≼ 定义为 (a₁, a₂) 小于 (b₁, b₂)，即 (a₁, a₂) ≺ (b₁, b₂)，或者a₁ ≺ ₁ b₁，或者 a₁ = b₁ 且 a₂ ≺₂ b₂

(把相等增加到 A₁ × A₂ 的序 ≺ 上，就得到一个偏序 ≼ )

例：考虑由小写英语组成的字符串的集合。使用字母在字母表中的顺序，可以构造在字符串的集合上的字典顺序。这与字典中使用的顺序相同。
🔴
discreet ≺ discrete，因为字符串在第7位出现不同字母，且 e ≺ t
discreet ≺ discreetness，因为这两个字符串前8个字母相同，但是第二个字符串更长

3、⛺哈塞图（Hasse Diagrams）

**定义：**哈塞（Hasse） 图是偏序的一种可视化表示，它省略了由于自反性和传递性而必须出现的边

构造哈塞图

偏序如上图 (a) 所示
构造Hasse图的步骤：
① 移走 由于自反性而产生的 环（ 如图 b））
② 移走 由于由于传递性而必须出现的 边（ 如图c））
③最后，排列每条边使得它的 起点在终点的下面

覆盖

设 ( S， ≼ ) 是一个偏序集。若x ≺ y且不存在元素z∈S使得x ≺ z ≺ y，则称元素y∈S 覆盖 元素x∈S。

y 覆盖 x 的有序对 (x，y) 的集合称为(S， ≼ )的 覆盖关系

对应到Hasse图，即上下直接相邻连接的两个元素有覆盖关系

从对偏序集的哈塞图的描述中，我们可以看出，在(S，≤)的哈塞图中的边是指向上面的边并且与(S，≤)的覆盖关系中的有序对相对应。而且，我们可以从偏序集的覆盖关系中得到这个偏序集，因为它是它的覆盖关系的传递闭包的自反闭包。

这就告诉我们，可以从哈塞图中构造一个偏序

4、⛺偏序集上的特殊元素

极大元、极小元

极大元：假设a为极大元，则任取与a具有关系R的元素x，都有xRa.（也就是说：并不是A中的任意元素都与a有关系R，这就是最大元与极大元的区别）

极小元：假设a为极小元，则任取与a具有关系R的元素x，都有aRx.

最大元、最小元

论最大元、最小元，前提是可比！！！
最大元：偏序集中存在一个元素大于每个其他的元素。这样的元素称为最大元

（ 假设a为最大元，则在集合A中，任取元素x，都有xRa ）

最小元：类似地，一个元素称为最小元，当它小于偏序集的所有其他元素。

（ 假设a为最小元，则在集合A中，任取元素x，都有aRx ）

最大元、最小元是唯一的，极大元与极小元不唯一

上确界、下确界

A是一个偏序集，B包含于A，在哈斯图中，求B的上界、上确界，下界、下确界：

y 比 B 中所有的元素都要大，称y是B的上界。上界中最小的叫做上确界
y 比 B 中所有的元素都要小，称y是B的下界。下界中最大的叫做下确界

从哈斯图上看出 上界、上确界、下界、下确界的方法：

在A的哈斯图中，标出子集B中的结点，
则不低于(不高于)其中最高结点(最低结点)并有与它们均相连且只通过下方( 上方)直线相连 (包括环) 的结点都为B的上界(下界)；
在上界集(下界集)中距B中最高结点(最低结点)路径最短的结点是上确界(下确界)

例：

集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 }，
（A，|）是一个偏序集，在哈斯图中，求A的上界、上确界，下界、下确界

🔴解：
A不存在上界，当然也不存在上确界；
1 比 A 中所有的元素都要小，所以 1 是 A 的下界，也是下确界

在Hasse图中看最大元、最小元、极小元、极大元

从哈斯图上看出 最大元、最小元、极小元、极大元的方法：

（以下均就A是一个偏序集而言，B包含于A，求B中的极大元、极小元、最大元、最小元）

(1)极大元：在B的哈斯图中每一个 孤立结点 或 只有下方连线的结点 是B的极大元。

(2)极小元：在B的哈斯图中每一个 孤立结点 或 只有上方连线的结点 是B的极小元。

(3)最大元和最小元：首先找出B的极大元和极小元 → 若极大元或极小元只有一个，则这个极大元或极小元就是B的最大元或最小元；若不止一个，则B的最大元或最小元不存在。

例1：偏序集 ( { 2，4，5，10，12，20，25 } ，| ) 中的哪些元素是极大元，哪些是极小元？

🔴解：
画出这个偏序集的哈塞图（如图），显示了极大元是12，20，25；极小元是2，5

（没有最大元、最小元）

例2：

a) 没有最大元，有最小元a
b）都没有
c) 最大元d，没有最小元
d)最大元是d，最小元是a

5、⛺格（Lattices）

如果一个偏序集的每对元素都有最小上界和最大下界，则称这个偏序集为格

a)、c)每对元素都有最小上界和最大下界，比较好判断

对于b)：
b）所示的Hasse图表示的偏序不是格，因为元素b和c没有最小上界（b，c有上界d和e，但是d、e不可比，无法确定d e哪个最小 ）

（书上的几个例题：）