【动态规划】LeetCode-70.爬楼梯

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题目

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

执行示例

示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1.1 阶 + 1 阶
2.2 阶

示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1.1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.1 阶 + 2 阶
3.2 阶 + 1 阶

提示

1 <= n <= 45

题解

我们可以逐个分析一下，到达第1阶的方法数有1种，即从开始处走1台阶到达；到达第2阶的方法数有2种，即从开始处走2个台阶到达或从第1阶走1个台阶到达；到达第3阶的方法可以是从第1阶走2个台阶到达，也可以是从第2阶走1个台阶到达，因此爬到第3阶的方法数等于爬到第1阶和第2阶的方法数之和…
以此类推，我们可以得到状态转移方程（名字比较高级，其实跟数学里的递推公式差不多）->f(n)=f(n-1)+f(n-2)。也就是说，我们像知道到达第n阶的方法数，知道知道第n-1阶和第n-2阶的方法数即可。上面我们已经得到f(1)=1，f(2)=2，再通过状态转移方程，就可以求出到达其他阶的方法数了。因此，我们可以得到如下代码↓↓↓。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1) return 1;
        vector<int>dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++)
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        return dp[n];
    }
};

上面的代码多开辟了一个空间，即dp(n + 1)中的+1，使得下标与台阶号相同，这是解决动规问题的方法之一。如果不+1则是下面代码的样子↓↓↓

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1) return 1;
        vector<int>dp(n);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for(int i = 2; i < n; i++)
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        return dp[n - 1];
    }
};

上面的代码的时间复杂度和空间复杂度均为O(N)。我们在计算到达n号台阶的方法数时，只需要n-1号和n-2号台阶的方法数，而不需要n-2号台阶之前的各个台阶的方法数。因此，我们可以使用3个变量cur、pre、ppre来替换dp(n)。
具体是怎么替换的呢？我们使用ppre保存爬到第1个台阶的方法数，使用pre保存爬到第2个台阶的方法数，然后执行cur = pre + ppre，计算出第3个台阶的方法数。再执行ppre = pre和pre = cur，此时ppre保存的就是爬到第2个台阶的方法数，pre保存的就是爬到第3个台阶对的方法数。此时再执行cur = pre + ppre，就可以计算出爬到第4个台阶的方法数。以此类推…
在这里插入图片描述
我们来看一下，使用3个变量实现的代码吧↓↓↓。这也是动规问题的一大技巧，叫做滚动数组。下面代码使用滚动数组后，空间复杂度将为O(1)。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int ppre = 1, pre = 2, cur = 3;
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        for(int i = 4; i <= n; i++)
        {
            ppre = pre;
            pre = cur;
            cur =ppre + pre;
        }
        return cur;
    }
};