完美滤波器
如下图所示，第 j j j级为输入图像，其中第 j − 1 j-1 j−1级为第 j j j级的尺寸减半的存在，直至为 1 × 1 1\times 1 1×1 的大小，这样的模式被称为图像金字塔
设原图像像素点个数为
N
2
N^2
N2，则图像金字塔的总像素个数为
N
2
(
1
+
1
(
4
)
1
+
1
(
4
)
2
+
⋯
+
1
(
4
)
P
)
⩽
4
3
N
2
N^{2}\left(1+\frac{1}{\left(4\right)^{1}}+\frac{1}{\left(4\right)^{2}}+\cdots+\frac{1}{\left(4\right)^{P}}\right){\leqslant}\frac{4}{3}N^{2}
N2(1+(4)11+(4)21+⋯+(4)P1)⩽34N2
对于图像金字塔建模，设第
j
j
j级为图像降低分辨率后的近似图像，这可以视为由第
j
+
1
j+1
j+1 级图像经过滤波操作和下采样实现后的存在，则第
j
+
1
j+1
j+1级可以视为第
j
j
j级经过上采样和插值操作后的存在，即如下图所示：
其中对图像进行上采样操作，索引所对应的值为：
f
2
↑
(
n
)
=
{
f
(
n
/
2
)
,
n
为偶数
0
,
其他
f_{2\uparrow}(n)=\begin{cases}f(n/2),&\quad n\text{为偶数}\\\quad0,&\quad\text{其他}\end{cases}
f2↑(n)={f(n/2),0,n为偶数其他
图像进行下采样操作，索引所对应的值为：
f
2
↓
(
n
)
=
f
(
2
n
)
f_{2\downarrow}(n)=f(2n)
f2↓(n)=f(2n)
上采样可看成是在序列中的每一个样本后插人 0; 下采样可看成是每隔一个样本丢弃一个样本。
设存在输入信号 f ( n ) f(n) f(n)，其中 h 0 ( n ) h_0(n) h0(n)与 h 1 ( n ) h_1(n) h1(n) 分别为低通与高通滤波器，并输入信号一分为二，如下图所示
并经过下采样得到 f l p ( n ) f_{lp}(n) flp(n)与 f h p ( n ) f_{hp}(n) fhp(n)。然后经过上采样，与滤波 g 0 ( n ) g_0(n) g0(n)和 g 1 ( n ) g_1(n) g1(n)并将信号 f l p ( n ) f_{lp}(n) flp(n)与 f h p ( n ) f_{hp}(n) fhp(n)合并得到信号 f ^ ( n ) \hat f(n) f^(n)，若 f ^ ( n ) \hat f(n) f^(n)与 f ( n ) f(n) f(n)相等，可以称为采用了完美滤波。
存在一个Z变换:
X
(
z
)
=
∑
−
∞
∞
x
(
n
)
z
−
n
X(z)=\sum_{-\infty}^\infty x(n)z^{-n}
X(z)=−∞∑∞x(n)z−n
其中离散傅里叶变换是Z变换的一个特殊形式，即
z
=
e
j
w
z=e^{jw}
z=ejw
若对z变换采用下采样，则可以得到:
x
d
o
w
m
(
n
)
=
x
(
2
n
)
⟺
X
d
o
w
m
(
z
)
=
1
2
[
X
(
z
1
2
)
+
X
(
−
z
−
1
2
)
]
x_{\mathrm{dowm}}(n)=x(2n)\iff X_{\mathrm{dowm}}(z)=\frac{1}{2}[X(z^{\frac{1}{2}})+X(-z^{-\frac{1}{2}})]
xdowm(n)=x(2n)⟺Xdowm(z)=21[X(z21)+X(−z−21)]
若对z变换采用上采样，则可以得到:
x
u
p
(
n
)
=
{
x
(
n
/
2
)
n
=
0
,
2
,
4
,
⋯
0
其他
⟺
X
u
p
(
z
)
=
X
(
z
2
)
\left.x^\mathrm{up}(n)=\left\{\begin{matrix}x(n/2)&n=0,2,4,\cdots\\0&\text{其他}\end{matrix}\right.\right.\Longleftrightarrow X^\mathrm{up}(z)=X(z^2)
xup(n)={x(n/2)0n=0,2,4,⋯其他⟺Xup(z)=X(z2)
先对信号进行下采样然后进行上采样可得：
X
^
(
z
)
=
1
2
[
X
(
z
)
+
X
(
−
z
)
]
\hat{X}(z)=\frac{1}{2}[X(z)+X(-z)]
X^(z)=21[X(z)+X(−z)]
根据z变换的逆变换可得：
Z
−
1
[
X
(
−
z
)
]
=
(
−
1
)
n
x
(
n
)
Z^{-1}[X(-z)]=(-1)^{n}x(n)
Z−1[X(−z)]=(−1)nx(n)
在根据完美滤波原理：
X
^
(
z
)
=
1
2
[
H
0
(
z
)
X
(
z
)
+
H
0
(
−
z
)
X
(
−
z
)
]
G
0
(
z
)
+
1
2
[
H
1
(
z
)
X
(
z
)
+
H
1
(
−
z
)
X
(
−
z
)
]
G
1
(
z
)
=
1
2
[
H
0
(
z
)
G
0
(
z
)
+
H
1
(
z
)
G
1
(
z
)
]
X
(
z
)
+
1
2
[
H
0
(
−
z
)
G
0
(
z
)
+
H
1
(
−
z
)
G
1
(
−
z
)
]
X
(
−
z
)
\begin{aligned} \hat{X}(z)&=\frac{1}{2}[H_0(z)X(z)+H_0(-z)X(-z)]G_0(z)\\ &+\frac{1}{2}[H_1(z)X(z)+H_1(-z)X(-z)]G_1(z)\\ &=\frac{1}{2}[H_0(z)G_0(z)+H_1(z)G_1(z)]X(z)\\ &+\frac{1}{2}[H_0(-z)G_0(z)+H_1(-z)G_1(-z)]X(-z) \end{aligned}
X^(z)=21[H0(z)X(z)+H0(−z)X(−z)]G0(z)+21[H1(z)X(z)+H1(−z)X(−z)]G1(z)=21[H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)]X(z)+21[H0(−z)G0(z)+H1(−z)G1(−z)]X(−z)
为了实现完美滤波则，应存在
H
0
(
−
z
)
G
0
(
z
)
+
H
1
(
−
z
)
G
1
(
z
)
=
0
H
0
(
z
)
G
0
(
z
)
+
H
1
(
z
)
G
1
(
z
)
=
2
\begin{aligned}H_0(-z)G_0(z)+H_1(-z)G_1(z)&=0\\\\H_0(z)G_0(z)+H_1(z)G_1(z)&=2\end{aligned}
H0(−z)G0(z)+H1(−z)G1(z)H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)=0=2
即：
[
H
0
(
z
)
H
1
(
z
)
H
0
(
−
z
)
H
1
(
−
z
)
]
×
[
G
0
(
z
)
G
1
(
z
)
]
=
[
2
0
]
\begin{bmatrix}H_0(z)&H_1(z)\\H_0(-z)&H_1(-z)\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}G_0(z)\\G_1(z)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}
[H0(z)H0(−z)H1(z)H1(−z)]×[G0(z)G1(z)]=[20]
利用克拉默法则可得
[
G
0
(
z
)
G
1
(
z
)
]
=
2
det
(
H
m
(
z
)
)
[
H
1
(
−
z
)
−
H
0
(
−
z
)
]
\left.\left[\begin{array}{c}{G_{0}(z)}\\{G_{1}(z)}\\\end{array}\right.\right]=\frac{2}{\det(\mathbf{H}_{m}(z))}\begin{bmatrix}{H_{1}(-z)}\\{-H_{0}(-z)}\\\end{bmatrix}
[G0(z)G1(z)]=det(Hm(z))2[H1(−z)−H0(−z)]
即当
g
0
(
n
)
=
(
−
1
)
n
h
1
(
n
)
,
g
1
(
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
h
0
(
n
)
g_0(n)=(-1)^nh_1(n),g_1(n)=(-1)^{n+1}h_0(n)
g0(n)=(−1)nh1(n),g1(n)=(−1)n+1h0(n)或
g
0
(
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
h
1
(
n
)
,
g
1
(
n
)
=
(
−
1
)
n
h
0
(
n
)
g_{0}(n)=\left(-1\right)^{n+1}h_{1}(n),g_{1}(n)=\left(-1\right)^{n}h_{0}(n)
g0(n)=(−1)n+1h1(n),g1(n)=(−1)nh0(n)时，成立
其中 g 0 g_0 g0与 g 1 g_1 g1分别由 h 1 h_1 h1和 h 0 h_0 h0调制得到
因为 H 0 ( z ) G 0 ( z ) + H 1 ( z ) G 1 ( z ) = 2 H_0(z)G_0(z)+H_1(z)G_1(z)=2 H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)=2
所以存在：
∑
k
g
0
(
k
)
h
0
(
n
−
k
)
+
(
−
1
)
n
∑
k
g
0
(
k
)
h
0
(
n
−
k
)
=
2
δ
(
n
)
\sum_kg_0(k)h_0(n-k)+(-1)^n\sum_kg_0(k)h_0(n-k)=2\delta(n)
k∑g0(k)h0(n−k)+(−1)nk∑g0(k)h0(n−k)=2δ(n)
其中
δ
(
n
)
\delta(n)
δ(n)为单位脉冲函数
当n为奇数时将会出现相消得情况，于是可以简化为
∑
k
g
0
(
k
)
h
0
(
2
n
−
k
)
=
<
g
0
(
k
)
,
h
0
(
2
n
−
k
)
>
=
δ
(
n
)
\sum_kg_0(k)h_0(2n-k)=<g_0(k),h_0(2n-k)>=\delta(n)
k∑g0(k)h0(2n−k)=<g0(k),h0(2n−k)>=δ(n)
可以看成两个向量的内积，同理存在
<
g
1
(
k
)
,
h
1
(
2
n
−
k
)
>
=
δ
(
n
)
<
g
0
(
k
)
,
h
1
(
2
n
−
k
)
>
=
0
<
g
1
(
k
)
,
h
0
(
2
n
−
k
)
>
=
0
\begin{aligned}&<g_1(k),h_1(2n-k)>=\delta(n)\\&<g_0(k),h_1(2n-k)>=0\\&<g_1(k),h_0(2n-k)>=0\end{aligned}
<g1(k),h1(2n−k)>=δ(n)<g0(k),h1(2n−k)>=0<g1(k),h0(2n−k)>=0
即
h
0
(
n
)
,
h
1
(
n
)
,
g
0
(
n
)
和
g
1
(
n
)
h_{0}(n),h_{1}(n),g_{0}(n)\text{和 }g_{1}(n)
h0(n),h1(n),g0(n)和 g1(n)满足双正交
即
<
h
i
(
2
n
−
k
)
,
g
j
(
k
)
>
=
δ
(
i
−
j
)
δ
(
n
)
i
,
j
=
{
0
,
1
}
<h_i(2n-k),g_j(k)>=\delta(i-j)\delta(n)\quad i,j=\{0,1\}
<hi(2n−k),gj(k)>=δ(i−j)δ(n)i,j={0,1}
