不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

动态规划五部曲

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
2. 确定递推公式
   想要求dp[i][j]，只能有两个⽅向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
   此时在回顾⼀下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有⼏条路径，dp[i][j - 1]同理。
   那么很⾃然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个⽅向过来。
3. dp数组的初始化
   如何初始化呢，⾸先dp[i][0]⼀定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有⼀条，那么dp[0][j]也同理。
   所以初始化代码为：

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

4. 确定遍历顺序
   这⾥要看⼀下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上⽅和左⽅推导⽽来，那么从左到右⼀
   层⼀层遍历就可以了。
   这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]⼀定是有数值的。
5. 举例推导dp数组
   如图所示：
   

代码

力扣提交代码

class Solution {
	public:
	int uniquePaths(int m, int n) {
		vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
		for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
		for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
		for (int i = 1; i < m; i++) {
			for (int j = 1; j < n; j++) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
			}
		}
		return dp[m - 1][n - 1];
	}
};

总代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int uniquePaths(int m, int n) 
{
    int dp[110][110];
    int i,j;
    for(i=0;i<m;i++)//对第一列进行初始化为1 
    	dp[i][0]=1;
    for(i=0;i<n;i++)//对第一行进行初始化为1 
		dp[0][i]=1; 
	for(i=1;i<m;i++)
	{
		for(j=1;j<n;j++)
		{
			dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
			//        上一行     左一列 
		}
	 } 
	return dp[m-1][n-1]; 
}

int main()
{
	int m,n;
	scanf("m = %d, n = %d",&m,&n);
	printf("%d",uniquePaths(m,n) );
	return 0;
}