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1. 不同路径 I Unique Paths 1
2. 不同路径 II Unique Paths 2
3. 不同路径 III Unique Paths 3
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1. 不同路径 I Unique Paths 1
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7 输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 1. 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3 输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3 输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100- 题目数据保证答案小于等于
2 * 10^9
之前练过，代码见：Python每日一练(20230410)_Hann Yang的博客
递归法：（不推荐，时间复杂度高）
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
def backtrack(row, col):
if row == 0 or col == 0:
return 1
return backtrack(row-1, col) + backtrack(row, col-1)
return backtrack(m-1, n-1)用组合公式，只要一行代码：
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
return __import__('math').comb(m+n-2, m-1)
# %%
s = Solution()
print(s.uniquePaths(m = 3, n = 7))
print(s.uniquePaths(m = 3, n = 2))
print(s.uniquePaths(m = 7, n = 3))
print(s.uniquePaths(m = 3, n = 3))
输出：
28
3
28
6
2. 不同路径 II Unique Paths 2
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]] 输出：2 解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。 从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径： 1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下 2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]] 输出：1
提示：
m == obstacleGrid.lengthn == obstacleGrid[i].length1 <= m, n <= 100obstacleGrid[i][j]为0或1
之前练过，代码见：Python每日一练(20230221)_Hann Yang的博客
递归法：（不推荐，时间复杂度高）
class Solution:
def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
def backtrack(row, col):
if row == m or col == n or obstacleGrid[row][col] == 1:
return 0
if row == m - 1 and col == n - 1:
return 1
return backtrack(row+1, col) + backtrack(row, col+1)
return backtrack(0, 0)
# %%
s = Solution()
print(s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]))
print(s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]))输出：
2
1
3. 不同路径 III Unique Paths 3
在二维网格 grid 上，有 4 种类型的方格：
1表示起始方格。且只有一个起始方格。2表示结束方格，且只有一个结束方格。0表示我们可以走过的空方格。-1表示我们无法跨越的障碍。
返回在四个方向（上、下、左、右）上行走时，从起始方格到结束方格的不同路径的数目。
每一个无障碍方格都要通过一次，但是一条路径中不能重复通过同一个方格。
示例 1：
输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]] 输出：2 解释：我们有以下两条路径： 1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2) 2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)
示例 2：
输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]] 输出：4 解释：我们有以下四条路径： 1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3) 2. (0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3) 3. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3) 4. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2),(2,3)
示例 3：
输入：[[0,1],[2,0]] 输出：0 解释： 没有一条路能完全穿过每一个空的方格一次。 请注意，起始和结束方格可以位于网格中的任意位置。
提示：
1 <= grid.length * grid[0].length <= 20
代码： 回溯法
from typing import List
class Solution:
def uniquePathsIII(self, grid: List[List[int]]) -> int:
m, n = len(grid), len(grid[0])
start, end = None, None
empty_count = 0
# 找到起点、终点和空方格总数
for i in range(m):
for j in range(n):
if grid[i][j] == 0:
empty_count += 1
elif grid[i][j] == 1:
start = (i, j)
elif grid[i][j] == 2:
end = (i, j)
# 记录已访问的坐标
visited = set()
def backtrack(row, col, count):
# 矩阵边界检查
if row < 0 or row >= m or col < 0 or col >= n:
return 0
# 障碍检查
if grid[row][col] == -1:
return 0
# 到达终点检查
if (row, col) == end:
if count == empty_count + 1:
return 1
else:
return 0
# 已经经过或已经访问
if (row, col) in visited:
return 0
# 标记为已经访问
visited.add((row, col))
# 向四个方向前进
paths_count = 0
paths_count += backtrack(row+1, col, count+1)
paths_count += backtrack(row-1, col, count+1)
paths_count += backtrack(row, col+1, count+1)
paths_count += backtrack(row, col-1, count+1)
# 回溯
visited.remove((row, col))
return paths_count
return backtrack(start[0], start[1], 0)
#%%
s = Solution()
grad = [[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
print(s.uniquePathsIII(grad))
grad = [[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]]
print(s.uniquePathsIII(grad))
grad = [[0,1],[2,0]]
print(s.uniquePathsIII(grad))
输出：
2
4
0
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