机器学习的复习笔记4-岭回归与多项式回归

一、岭回归

在简单的线性回归中,一味追求平方误差最小化,R2值尽可能大,可能会受到噪声的严重干扰。噪声,即偶发的错误的值。

如图,若为满足所有点的拟合(虚线),表面上看R2值小,但为了右下角两个噪声点严重偏离了大部分点群,这是得不偿失的。因此设置阈值来过滤少数噪声点的影响,反而会使拟合效果更加合理。而增加阈值的回归,被称为“岭回归”。

from sklearn import linear_model
ridge_regressor=linear_model.Ridge(alpha=100,fit_intercept=True,max_iter=10000)
  • alpha即为复杂度控制器,值为非负整数,值为0时,等同于使用最小二乘法的普通线性回归。如要屏蔽噪声值,则需加大该值。

二、多项式回归

多项式回归是一种回归分析方法,它通过拟合一个多项式函数来描述自变量与因变量之间的关系。在多项式回归中,自变量和因变量可以是连续变量或离散变量。

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

#设置多项式的次幂的初始值
ploynomial=PolynomialFeatures(degree=3)

#多项式形式的输入
X_train_transformed=ploynomial.fit_transform(X_train)

#拟合
poly_linear_model=linear_model.LinearRegression()
poly_linear_model.fit(X_train_transformed,y_train)

多项式回归的主要步骤如下:

  1. 确定多项式的阶数(degree):多项式的阶数决定了拟合函数的复杂程度。阶数越高,拟合函数越复杂,但过高的阶数可能导致过拟合。

  2. 收集数据:收集与自变量和因变量相关的数据,这些数据通常呈现线性或非线性关系。

  3. 拟合多项式:利用数据集拟合一个多项式函数,该函数可以表示为:y = a0 + a1x1 + a2x2 + ... + anxn。其中,ai 是多项式的系数,x1、x2、...、xn 是自变量,y 是因变量。

  4. 分析结果:根据拟合的多项式,分析自变量与因变量之间的关系,以及多项式系数对应的含义。

  5. 评估模型:使用拟合的多项式进行预测,并评估模型的预测性能。过高的阶数可能导致过拟合,因此需要权衡模型的复杂程度与预测性能。

多项式回归的应用广泛,例如在经济学、社会科学、自然科二、多项式回归学等领域。然而,它也存在一定的局限性,如过拟合、计算复杂度较高等问题。在实际应用中,可以根据实际情况选择适当的多项式阶数,以达到较好的拟合效果。此外,还可以通过优化算法、增加数据量等方法来提高多项式回归模型的性能。

【在生产经济学中,柯布-道格拉斯生产函数(C-D生产函数)与多项式回归的思想相近。】

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