尺度为什么是sigma？

我们先看中值滤波和均值滤波。

以前，我认为是一样的，没有区分过。

他们说，均值滤波有使图像模糊的效果。

中值滤波有使图像去椒盐的效果。为什么不同呢？试了一下，果然不同，然后追踪了一下定义。

12345，均值是3，

12345，中值也是3，这就是不加区别的原因。

再看，1,2,7,8,10；均值是？，28/5=5.6

中值显然是7。这就是区别。所以有时二者相等，有时并不同。

中值为什么能去椒盐，椒盐其实就是离谱的噪点，比如1,2,7,8,10中的1,2；其实针对均值5.6,1,10离得更远一些。

所以中值舍去的就是1,2之类，而均值舍去的是1,10之类

那么模糊又是什么意思？其实就是拉平（没有了特色和细节，就像灰色的天空，蓝色天空也行，或者整片白云，应区别噪点，比如云中飞机）了，显然5.6更合适拉平效果，而7有偏颇。

不管是拉平的平原，柏油马路的颜色，这些没有特色的，容易引起审美疲劳。一群同学中没个高个，都差不多，没几个优秀的学生，办学没特色，好中庸！图像中一团黑或白都算！

下面我们用数学公式区分一下这些不着边际的话语，平均值是这样定义的：

u=1/n* $\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ ，u就是均值，xi代表上面的1,2,7,8,10；n是个数。

我们还学习了一个公式，代表偏离均值程度，sigma*sigma=1/n* $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-u)^{2}$ 。

显然值越大，偏差程度越大。

十月初，想通了一件事，就是，这两个公式是万物基础，高斯函数很牛，也是要靠这两个定义支撑。

高斯函数，在图像处理中，常常用来模糊（平滑）图像，去除噪点，那么他这个模糊和均值模糊有什么差别？

均值模糊更具有一般性，而高斯模糊更具有特殊性，为什么呢？

这个世界可以用连续和离散来概括，而均值概括了连续和离散，而高斯函数针对的是连续空间。

也就是说，均值模糊什么情况下都能用，而高斯模糊，最好在连续空间使用。

我们再看一下高斯函数的来历：

有人为了解简单的微分方程： ${f(x)}'$ /f(x)=c*x;

可以推导出：f(x)=K*exp(1/2*x*x*c),k是常数

欲使得： $\int_{-\infty }^{+\infty }$ f(x) $d_{x}$ =1;这个公式其实就是使其归一化，或者说用概率论来说，在x定义域上必然发生的概率是1，或者说必然有解。

可以推导出：c=-1/(sigma*sigma)

再利用： $\int_{-\infty }^{+\infty }$ $e^{-x^{2}}$ = $\sqrt{\pi }$ ，可以推出，k=1/sigma*1/ $\sqrt{2*\pi }$ 。

所以f（x）=高斯函数；因为他是高斯发现的，故以其名字命名。

显然这些推导的成立，都是在连续的基础上。

高斯模糊，靠的就是这个sigma，这个sigma在连续函数上等于偏离均值程度，当函数不连续时，上面那个均值和偏离程度的公式仍然成立，即就是sigma*sigma=1/n* $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-u)^{2}$ 中sigma的定义包含了高斯函数中的sigma。

其实sigma的平滑模糊靠的就是这个均值u。只不过用u模糊平滑时，对x的掌控力度不如sigma好。

u平滑模糊，是整个定义域的，比如1,2,7,8,10；在这个定义域，sigma*sigma= $(1-5.6)^{2}$ + $(2-5.6)^{2}$ + $(7-5.6)^{2}$ + $(8-5.6)^{2}$ + $(10-5.6)^{2}$ ,sigma=7.8;如果5.6不变，sigma令其为4.55，则只剩2,7,8三个数了，也就是说模糊只能对2,7,8起作用。所以改变sigma，可以掌控的定义域力度比u变小，因为我们是有限范围模糊。

也有人把这个sigma叫波长，鞭长或半径，他可以达成不同的模糊程度。

最后，我们来回答，为什么这个sigma摇身一变，成为尺度了？

我在研究sift和canny以及膨胀腐蚀的时候发现，腐蚀可以认为是图像缩小，膨胀可以认为是放大，特别是腐蚀轮廓一圈，一圈消下去一个像素，sigma=0.8，膨胀一圈轮廓，一圈增加一个像素，sigma=1.2。在sift高斯金字塔的一层（1->2,放大一倍， $k^{3}$ =2）连续四组图像（sigma，k*sigma，k*k*sigma,k*K*k*sigma）中，可以看得清清楚楚轮廓的变化（轮廓用canny求出，第一层dog，k*sigma-sigma，第二层dog， $k^{2}$ *sigma-k*sigma，第三层dog， $k^{3}$ sigma- $k^{2}$ sigma，如果我们认为第二层是原图像，那么第一层就是尺度（收缩）0.8，第三层就是尺度1.2（放大））,然后我们想要知道像素是怎么变化的，可以用膨胀腐蚀轮廓对等模拟。