11.几何（曲线与曲面）

曲线

1.Bézier Curves 贝塞尔曲线.

angents（切线）来定义贝塞尔曲线，规定了起点和终点必须是p0和p3，起始方向必须沿着p0p1方向，终点方向必须沿着p2p3方向

2. de Casteljau Algorithm（算法）

如何用任意多个点画出一条贝塞尔曲线

三个点的情况，假设t代表了时间t的时候贝塞尔曲线的点经过了时间t的位置，分别在三个点的取前1/3的位置的点相连，然后在连线上取1/3的位置标记点就是所求的点。四个点的也是同理，只要最后只能求到一个点的时候就是所求的点，只要枚举出所有时间的点，就可以画出这条曲线

3. 贝塞尔曲线的代数表示

当t等于时，位置在b0，t=1时，位置在b1

总结：

可以推出代数式的诶个系数是由伯恩斯坦多项式得来的，常量就是b0到bn，系数感觉可以理解为（1-t+t）的n次方的结果的指数逐渐下降

4.贝塞尔曲线的性质

（1）必过起点、终点

（2）起始点和终点的切线方向如图所示（根据点的数量系数会不同）

（3）仿射变换下：

对一条贝塞尔曲线的顶点做仿射变换再画出赛贝尔曲线

= 原曲线每一个点做仿射变换后得到贝塞尔曲线

（4）凸包性质：

①什么是凸包

一个直观的定义：把最外边的黑点看做钉子，用一条橡皮筋包住最外边的钉点，再松手，橡皮筋收缩后就是这个外框（凸包）

②性质

任何一个贝塞尔曲线的任意一个点，一定都在所给的控制点所形成的的凸包内。

一个例子：

几个点在一条线上 → 根据凸包的性质可知 → 凸包就是这条线（任意点都在凸包内）

5. Piecewise（逐段）贝塞尔曲线

（1）为何引入逐段贝塞尔曲线

控制点多的时候 → 不好控制曲线 → 用少的控制点定义多条贝塞尔曲线，再连起来。

（2）两段曲线相连的连续性

C0：仅仅是两段曲线相连，也就是值相同

C1：相连处到相邻两个点的切线方向相反，长度相同

后面还有更高级的，就不多说了

曲面

1.贝塞尔曲面

四条贝塞尔曲线上面相同时间t可以得到四个点，这四个点又可以当作另外一条贝塞尔曲线的控制点，进行扫描之后就得到了贝塞尔曲面，总之就是竖着的四列连接出贝塞尔曲线后，再横着根据t依次连接成一条线

2.Mesh Operations: Geometry Processing

Mesh subdivision 网格细分

Mesh simplification 网格简化

Mesh regularization 网格正规化（基本都是规律的三角形）

3.Mesh subdivision 网格细分

网格细分的目的主要是进行三角形或者多边形细分，让物体表面变得更加光滑

1.Loop Subdivision

取每条边的中点相连分成四个三角形

调整新生成的顶点和原来的顶点的位置

对于新生成的顶点，肯定被两条边所共享，共享的这条边的两个顶点占的位置影响比重显然更大。

对于原来的顶点，定义两个变量，n就是顶点的度，也就是每个点连接的边的个数，，u就是和n相关的一个数，根据公式可以看出来1-n*u的结果貌似是唯二的，n=3的时候，等于7/16，不等于3的时候等于5/8，很明显相连的边越多，n越大，u越小，周围的点越不重要

细分结果：

2.Catmull-Clark Subdivision

定义：

quad face：四边形面

Non-quad face：非四边形面

Extraordinary vertex ：奇异点(degree != 4，即度不为4的点- 度：连的边数)

细分操作：取每条边，每个面的中点 → 连起来 → 结果：每个非四边形都引入了一个奇异点，非四边形面消失

Catmull-Clark Subdivision的性质：在一次操作后，增加了非四边形面数的个数个奇异点，并且后边都不回再增加了。

如何更新新增加的点：

4.Mesh Simplification 网格简化

目的就是减少三角形的数量但也要尽量保持原来的形状

1.边坍缩—Edge Collapsing

但是应该坍缩哪条边，以及坍缩出来的点应该放在哪里呢，这里要用到二次误差度量，对于新捏出的简化后的一个顶点，也就是下图中的蓝色的顶点，我们找到影响它的各个面，把该顶点与各个面的距离的平方和求出来，平方和最小的这个位置也就是最优位置。

怎么确定坍缩哪条边呢？这里同样用到二次误差度量，在一个网格中，我们对每条边都做一次二次度量误差，也就是说对每条边坍缩后对网格的整体影响做一个预计算并排序，那么开始坍缩的时候，先从那条二次度量误差最小的那条边做坍缩。

但是我们每坍缩一条边之后，会对其它边的二次度量误差产生影响，也就是说，每坍缩一条边之后，我们的其它边坍缩后的对网格的影响要重新计算。也就是说我们需要一种数据结构，我们能瞬间取到最小值，也就是O(1)，并且我们能动态的更新重新排序剩下的受影响的数据，也就是优先队列/堆。这也就支持了我们每次取二次度量误差最小的边进行坍缩，然后再取受影响之后的二次度量误差最小的边进行坍缩，然后循环往复的过程。